Bajariladigan amallar

4-teorema, 3-teoremaning natijasi va birlik ye_A aks ettirishning bieksiya ekanligi, G_A to‘plamning o‘zi ham o‘zgartirishlar guruhini hosil qilishini ko‘rsatadi.

Misollar: 1) K to‘plamdagi f_a(x) = ax (a  R, a  0) ko‘rinishidagi barcha funksiyalar N o‘zgartirishlar guruhini hosil qiladi. Haqiqatan:

a) Agap f_a(x) = ax, f_b(x) = bx bo‘lsa, u holda (f_a f_b)(x) = abx, (f_b f_a)(x) = abx, ya’ni f_b f_a  H, f_a f_b  H;

b) e_R(x) =f₁(x) = x, f₁ = e_R  H;

v) f_a^-1 (x) = a ^-1x; demak f_a^-1  H.

2) R to‘plamdagi g_a(x) = x+a (a  R) ko‘rinishidagi barcha funksiyalardan iborat R to‘plam ham o‘zgartirishlar guruhini hosil qiladi:

a) Agar g_a(x) = x + a, g_b(x) = x + b bo‘lsa, u holda g_a g_b = g_b g_a = g_a+b P;

b) e_R = g₀  P;

v) agar g_a(x) = x + a bo‘lsa, u holda g_a^-1(x) = x - a; demak g_a^-1 = g _–a  P.
2. BINAR MUNOSABATLAR.

Ixtiyoriy A to‘plam berilgan bo‘lsin.

A^g to‘plamning ixtiyoriy R qism to‘plami A to‘plamda binar munosabat deyiladi. Agar (x, u)  R bo‘lsa, u holda x element u element bilan R binar munosabatda deyiladi va xRu kabi yoziladi.

Matematikadagi muhim binar munosabatlar uchun ayrim belgilar kiritilgan.

Misollar. I) R haqiqiy sonlar to‘plamida x va u sonlarning tenglik munosabati. Uning belgisi x = u. Bu munosabat R² tekisliqsagi u = x to‘g‘ri chiziq nuqtalari bilan beriladi.

2. 
   R haqiqiy sonlar to‘plamida x va u sonlarning tengmaslik munosabati. Uning belgisi x  u. Bu munosabat R² tekislikda u = x to‘g‘ri chiziqqa kirmagan barcha nuqtalardan iborat bo‘lgan to‘plam bilan beriladi.
   
3. 
   R da u sonning x sondan katta ekanligi munosabati:
   belgisi u > x yoki x < u. Bu munosabat R² da u = x to‘g‘ri chiziqdan yuqorida yotuvchi nuqtalar to‘plami bilan beriladi;
   
4. 
   A = V — to‘plamlarning tenglik munosabati;
   
5. 
   A  V — to‘ilamlarning tengmaslik munosabati;
   
6. 
   A  V yoki V  A — qism to‘plam munosabati;
   
7. 
   A V yoki V  A — xos qism to‘plam munosabati;
   
8. 
    || — to‘g‘ri chiziqlarning parallellik munosabati;
   
9. 
   a   — to‘g‘ri chiziqlarning tiklik munosabati;
   

10) a =>  — bir tenglamalar tizimi ikkinchisiningnatijasi ekanligi;

11) a <=>  — ikkita tenglamalar tizimining teng kuchlilik munosabati.

Agar A to‘plamda berilgan biror R munosabat shunday bo‘lsaki, har qanday a  A uchun aRa o‘rinli bo‘lsa, u refleksiv munosabat deyiladi. Agar aRb munosabatdan ab munosabat kelib chiqsa, (ya’ni aRa munosabat hech qanday a  A element uchun bajarilmasa), bunday munosabat antirefleksiv deyiladi.

Agar aRb munosabatning bajarilishidan bRa munosabatning ham bajarilishi kelib chiqsa, bunday munosabat A da simmetriklik munosabati deyiladi.

Agar aRb va bRs munosabatlarning bajarilishidan aRs bajarilishi kelib chiqsa, bunday munosabat tranzitivlik deyiladi.