Bajariladigan amallar

Ta’rif . Agar A to‘plamdagi R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, uni A da ekvivalentlik munosabati deyiladi va uning uchun aRb belgi o‘rniga ko‘pincha a ~ b belgi ishlatiladi.

Ekvivalentlikka misollar: 1) haqiqiy sonlarning tenglik munosabati;

2. 
   to‘plamlarning tenglik munosabati;
   

2. 
   tenglamalar tizimlarining teng kuchlilik munosabati;
   

2. 
   funksiyalarning tenglik munosabati.
   

2. 
   Muhim misol. A to‘plamda N o‘zgartirishlar guruhi berilgan bo‘lsin.
   

Bu N o‘zgartirishlar guruhi yordamida A da ekvivalentlik tushunchasini kiritamiz.

Agar A to‘plamning a va b elementlari uchun shunday h  H bieksiya mavjud bo‘lsaki, h(a) = b bo‘lsa, bu elementlar N — zkvivalent deyiladi va a ~ b ko‘rinishda yoziladi.

Agar ixtiyoriy a  A ni olib, h  N sifatida ye_A ni olsak (ye_A — birlik aks ettirish o‘zgartirishlar guruhining ta’rifidagi d₂) shartga ko‘ra H ga tegishli, ye_A(a) = a, ya’ni har qanday a  A uchun a ~ a (refleksivlik).

Endi a~b bo‘lsin. U holda shunday h  N mavjudki, h(a) = b. O‘zgartirishlar guruhining ta’rifidagi d₃) shartga ko‘ra. h ^-1  N. U holda h(a) = b tenglikka h^-1 tatbiq qilsak, h ^–1(h (a)) = h^-1(b). Bundan a = h¹ (b), ya’ni b ~ a (simmetriklik).

Agar a~b va b ~ s bo‘lsa, shunday h₁ N va h₂  N bieksiyalar mavjudki, h₁(a) = b, h₂(b) = s. Bulardan h₂(b) = h₂ (h₁(a) = s, ya’ni (h₂h₁ (a) = s. O‘zgartirishlar guruhining d₁) shartiga ko‘ra h₂h₁  N. Bundan va (h₂h₁)(d) = s tenglikdan a ~ c munosabatni olamiz (tranzitivlik).

Demak, a~b (H-ekvivalentlik) haqiqatan ham ekvivalentlik munosabati ekan.

Kelajakda bu ekvivalentlikni N o‘zgartirishlar guruhi hosil qilgan ekvivalentlik (H-ekvivalentlik) deb ataymiz.

A to‘plam biror usul bilan sinflarga bo‘lingan bo‘lsin: V = {A_t, t  T}, A=  A_t, t  T. Bu bo‘linma yordamida A to‘plamga ekvivalentlik munosabatini kiritamiz.

Agar x, u  A elementlar V bo‘linmadagi bir sinfga tegishli bo‘lsa, ularni V bo‘linmaga nisbatan ekvivalent deymiz va x ~ u shaklda yozamiz.

Bu ekvivalentlik refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega.

Ixtiyoriy A to‘plamda har qanday ekvivalentlik munosabati shunday hosil qilinishi mumkinligini ko‘rsatamiz.

A to‘plamda biror "~" ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy x  A uchun x’ orqali x ga ekvivalent bo‘lgan barcha u  A elementlar to‘plamini belgilaymiz va {x’, x  A} to‘plamlar tizimi A ni sinflarga bo‘lishini ko‘rsatamiz.

Refleksivlik xossasiga asosan har bir x  A uchun x  x’, ya’ni x’ = A. Endi har bir x  A element yagona sinfga tegishli ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, x  x’ va x  z’ bo‘lsin, ya’ni z ~ x. Bundan simmetriklik xossasiga asosan x ~ z.

Ixtiyoriy u  z’ elementni olamiz. U holda z ~ y. Yuqoridagi x ~ z va z ~ y munosabatlardan tranzitivlik xossasiga asosan x ~ u ni olamiz, ya’ni u  x’. Ushbu u  z’ element ixtiyoriy bo‘lgani uchun z’  x’ . Yuqoridagiga o‘xshash mulohazalar bilan x’  z’ munosabat ham ko‘rsatiladi, ya’ni x’ = z’. Bu bilan {x’, x  A} to‘plamlar tizimi A to‘plamni sinflarga bo‘lishi ko‘rsatildi.

Shunday qilib, A to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bilan A ni sinflarga bo‘lish orasida o‘zaro bir qiymatli bog‘lanish ko‘rsatildi.