Bajariladigan amallar

2-teorema. Agar f aks ettirishning teskarisi mavjud bo‘lsa, u yagona.

I s b o t. Faraz qilaylik, g: V -> A va h : V -> A aks ettirishlar f ga teskari bo‘lsin, ya’ni gf = ye_A, hf = e_A, fg = e_B, fh = ye_B. U holda h(fg) = he_B = h, (hf)g = e_Ag = g. Bulardan aks ettirishlar kompozitsiyasining assotsiativlik xossasiga asosan h = g.

Arap f aks etgirishning teskarisi mavjud bo‘lsa, uni f ^-1 bilan belgilaymiz.
3-teorema. Aks ettirishning teskarilanuvchi bo‘lishi uchun uning bieksiya bo‘lishi zarur va kifoya.

Is b ot. Zarurligi. Arap f: A-> V aks ettirish teskarilanuvchi va g: V -> A — unga teskari aks ettirish bo‘lsa, u holda gf=e_A, fg=e_B va har bir u  V uchun f(g(y)) = (fg)(y) = e_B(U) = y. Bundan g(y)  A element u ele-mentning f- asl obrazi ekanligi kelib chiqadi. Bu yerda y  B ixtiyoriy bo‘lganligi uchun f — syur’eksiya bo‘ladi. Agar biror x₁x₂  A elementlar uchun f(x₁) = f(x₂) bo‘lsa, u holda x₁ = e_A(x₁) = gf(x₁) = gf(x₂) = e_A(x₂) = x₂, ya’ni f - in’eksiya. Demak f — bieksiya.

Kifoyaligi. Endi f: A->B — bieksiya bo‘lsin. U holda har bir yB uchun yagona f - asl obraz mavjud. Uni g(y) bilan belgilab, g:B->A aks ettirishni hosil qilamiz. Bu aks ettirish f aks ettirishga teskari, chunki har qanday u  V uchun fg(y) =f(g(y)) = u va har qanday x  A uchun gf(x) = g(f(x)) = x. Demak, f ning teskarisi mavjud.

Misollar: 1) Arap a  R va a  0 bo‘lsa, u holda f: R -> R, f(x) = ax+b



funksiya bieksiya. Uning teskarisi g: R -> R,

2. 
   Ixtiyoriy b  R uchun f: R -> R, f(x) = x + b funksiya bieksiyadir. Uning teskarisi g: R -> R, g(y)= y-b.
   

3)Arap a,bR va a0 bo‘lsa, u holda f: R -> R, f(x)= ax +b teskarilanuvchi, uning teskarisi g: R -> R,

Shuning uchun f va g funksiyalar — bieksiyalar.

4-teorema. Agar f:A-> B va g:B->C — bieksiyalar bo‘lsa, u holda ularning kompozitsiyasi gf: A -> S ham bieksiyadir va (gf) ^-1 =f ^–1g ^–1.

Isbot. Berilgan f va g aks ettirishlar bieksiya bo‘lgani uchun f ^-1 : V -> A va g ^-1: S -> V aks ettirishlar mavjud. Demak f ^–1g ^–1: S -> A kompozitsiya ham mavjud. Kompozitsiyaning assotsiativligiga asosan (gf)( f ^–1g ^–1) = g(ff ^–1 )g ^–1 = (ge_B)g^–1 = gg^-1 = e_c va (f ^–1g ^–1)(gf) = f ^-1 (^gg-1)f = f ^–1 (e_cf) = f ^-1 f = e_A. Bundan gf aks ettirishning teskarilanuvchiligi va (gf) ^–1 = f ^-1 g ^-1 kelib chiqadi. 3-teoremaga asosan gf — bieksiya.

Ta’rif. A to‘plamning o‘zini o‘ziga f: A -> A bieksiyasi A to‘plamning o‘zgartirishi (almashtirishi) deyiladi.

A to‘plamning barcha o‘zgartirishlar to‘plamini G_A opqali belgilaymiz.

Ta’rif. G_A to‘plamning N qism to‘plami quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, u o‘zgartirishlar guruhi deyiladi:

d₁) N to‘plamdagi ixtiyoriy ikkita f, g o‘zgartirishlarning fg va gf kompozitsiyalari ham N ga tegishli;

d₂) A to‘plamning birlik ye_A o‘zgartirish ham N to‘plamga tegishli;

d₃) har 6up f  N uchun f^--1  N.