Bajariladigan amallar

Ta’rif. Har bir x A uchun ushbu r(x) = g(f(x)) munosabat bilan aniqlangan r:A -> S aks ettirishga f va g aks ettirishlarning kompozitsiyasi (superpozitsiyasi, ba’zan ko‘paytmasi) deyiladi va p = gf bilan belgilanadi.

Agap A=V= S bo‘lsa, u holda gf: A -> A kompozitsiya bilan birga fg :A -> A kompozitsiya ham qaralishi mumkin. Bu holda umuman aytganda, fg  gf. Masalan, arap f: R -> R, f(x) = x², g: R -> R, g(x) = x + 1 bo‘lsa, u holda f(g(x)) = f(x + 1) = (x + l)² va gf(x) = g(x²) = x²+l. Demak fg  gf.

1-teorema. Har qanday uchta f:A -> V, g:B -> S, h : S -> D aks ettirshilar uchun h(gf) = (hg)f.

Isbot. Haqiqatan ham har bir x  A uchun h(gf)(x) = h(gf(x)) = h(g(f(x))) va (hg)f(x) = hg(f(x)) = h(g(f(x))).

Bu teoremadagi ayniyat aks ettirishlar kompozitsiyasining assotsiativlik xossasi deyiladi.

Har qanday A to‘plamning barcha x  A elementlari uchun ye(x) = ye tenglik bilan aniklangan ye = ye_A : A -> A aks ettirish A to‘plamning ayniy akslanishi (birlik akslanishi) deyiladi.

Ravshanki, har qanday A to‘plam uchun birlik akslanish ye_A:A -> A — bieksiyadir. Birlik akslanishlarning asosiy xossasi shuki, har qanday f: A -> V aks ettirish uchun fe_A = e_Bf =f.
Ta’rif. Agar f:A -> V aks ettirish uchun shunday g: V -> A aks ettirish mavjud bo‘lsaki, gf = e_A va fg= e_B

o‘rinli bo‘lsa, bunday f aks ettirish teskarilanuvchi, g aks ettirish esa f ga teskari deyiladi.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, g aks eshtirish xam teskarilanuvchi va f aks ettirish unga teskari bo‘ladi.