Bajariladigan amallar

3-Ma’ruza.

ALGEBRAIK SISTEMALAR HAQIDA BOShLANG‘ICh TUShUNChALAR. ALGEBRAIK SISTEMALAR UChUN GOMOMORFIZM VA IZOMORFIZM TUShUNChALARI .
A bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin.

Ta’rif. Agar A to‘plamda ∘ algebraik amal aniqlangan bo‘lsa, (A,∘) ni algebraik struktura yoki algebraik sistema deyiladi.

Masalan ℤ- butun sonlar to‘plamida odatdagi qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish amallaridan farqli , ular yordamida ℤ da

va boshqa amallarni aniqlash mumkin. Bu holda (ℤ;+), (ℤ;), (ℤ;∘), (ℤ;⊗), har xil algebraik sistemalarga ega bo‘lamiz.

1-misol. lar uchun ko‘rinishdagi barcha ikkinchi tartibli kvadratik matritsalar to‘plami Ye da matritsalarni tengligi ,qo‘shish va ko‘paytirish amallarini odatdagicha aniqlaymiz:



+=, θ=;

=; 1=.

Bu holda (Ye;+;) algebraik sistema bo‘lib, +; amallar Ye da aniqlangan binar algebraik amallar .

Ta’rif. Aytaylik (Ye;+) va (Ye;∘) lar algebraik sistema , ularning mos binar algebraik amallari bo‘lsin, agar shunday syurektiv (biektiv) akslantirish mavjud bo‘lib, uchun shart bajarilsa, akslantirishni E ni F ga gomomorf (izomorf) akslantirish deyiladi.

2-misol. hamma kompleks sonlarning to‘plami ,

ℝ-hamma haqiqiy sonlarning to‘plami bo‘lsin, u holda (S;) va (ℝ;) algebraik sistemalar bo‘ladi. akslantirishni ko‘rinishda aniqlasak, ga gomorf akslantirish bo‘ladi .

Haqiqatan ham , ,

bo‘lib, bu holda

3-misol. () algebraik sistema (ℝ; ) algebraik sistemaga izomorf.

Haqiqatan ham, tenglik bilan aniqlasak, biektiv akslantirish.



Demak, () algebraik sistema izomorf akslantirish ekan.

Ta’rif. Agar (Ye:) algebraik sistema

shart bajarilsa, () algebraik sistema (Ye:) algebraik sistemada yopiq deyiladi.
MUSTAQIL ISh UChUN MISOLLAR.
2.1. Quyidagi to‘plamlarni qaysi biri algebraik sistema bo‘ladi:

1) Z[]=

3)

5)

7)

2.2. Agar lar ℕ to‘plamda odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallari , tenglik bilan aniqlangan akslantirish bo‘lsa, ni (ℕ;) algebraik sistemani (ℕ;) algebraik sistemaga gomomorfizm ekanligini isbotlang.

2.3. Agar lar ℝ to‘plamda odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallari , tayinlangan musbat haqiqiy son, tenglik bilan aniqlangan akslantirish bo‘lsa, ni (ℝ;) algebraik sistemani (ℝ;) algebraik sistemaga gomomorfizm ekanligini isbotlang.

2.4. Aytaylik akslantirish tenglik bilan aniqlangan bo‘lsa, yebraik sistemani (V;) algebramk sistemaga izomorfizmi ekanligini isbotlang.

2.5. Aytaylik va K lar 2.8-misoldagi to‘plamlar bo‘lsin. Agar akslantirish tenglik bilan aniqlangan bo‘lsa, ni algebraik sistemani (K;+ ;) algebramk sistemaga izomorfizmi ekanligini isbotlang.

2.6. Quyidagi to‘plamlar ratsional sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan (;+ ;) algebraik sistemada yopiq bo‘ladimi?

1)

5) ℕ; 6)

2.7. Quyidagi to‘plamlar haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan (;+ ;) algebraik sistemada yopiq bo‘ladimi?

1) Z[]={}; 2) Z[ 3) Q[

4) ; 5) /