Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti fakulteti

2.2-§. Deduktiv va induktiv usullar

Deduktiv va induktiv usullar har qanday matematik tadqiqotning asosidir. Mulohaza yuritishning deduktiv usuli - umumiydan xususiyga fikr yuritish, ya'ni. mulohaza yuritish, uning boshlanish nuqtasi umumiy natija, yakuniy nuqtasi esa xususiy natijadir. Induktsiya alohida natijalardan umumiy natijalarga o'tishda qo'llaniladi, ya'ni. deduktiv usulga qarama-qarshidir.

Matematik induksiya usulini progress bilan solishtirish mumkin. Biz eng pastdan boshlaymiz, mantiqiy fikrlash natijasida biz eng yuqori darajaga chiqamiz. Inson doimo taraqqiyotga, o'z tafakkurini mantiqiy rivojlantirish qobiliyatiga intilgan, demak, tabiatning o'zi uni induktiv fikrlashni tayinlagan.

Matematik induksiya usulini qollash sohasi kengaygan bolsada, maktab o`quv dasturida unga kam vaqt ajratilgan. Xo'sh, nima deysiz insonga foydali beshta nazariya so'zini eshitib, beshta ibtidoiy masalani yechadigan va natijada hech narsani bilmagani uchun A olgan ikki-uch darsni olib kelishadi.

Ammo bu juda muhim - induktiv fikr yurita olish.

O'zining asl ma'nosida "induksiya" so'zi mulohaza yuritish uchun qo'llaniladi, uning yordamida bir qator alohida bayonotlarga asoslangan umumiy xulosalar olinadi. Bunday fikrlashning eng oddiy usuli to'liq induksiyadir. Mana shunday mulohazalarga misol.

Har bir tabiiyligini aniqlash talab qilinsin juft son n ichida 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Bu to'qqizta tenglik shuni ko'rsatadiki, bizni qiziqtirgan raqamlarning har biri haqiqatan ham ikkita asosiy hadning yig'indisi sifatida ifodalanadi.

Shunday qilib, to'liq induksiya - bu umumiy fikrning cheklangan miqdordagi mumkin bo'lgan holatlarning har birida alohida isbotlanishi.

Ba'zida umumiy natijani hammasini emas, balki etarliligini hisobga olgan holda taxmin qilish mumkin katta raqam maxsus holatlar (to'liq bo'lmagan induksiya deb ataladi).

To'liq bo'lmagan induksiya natijasida olingan natija esa, barcha maxsus holatlarni qamrab oluvchi aniq matematik mulohaza bilan isbotlanmaguncha, faqat gipoteza bo'lib qoladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, matematikada to'liq bo'lmagan induksiya qat'iy isbotlashning qonuniy usuli hisoblanmaydi, balki yangi haqiqatlarni ochishning kuchli usuli hisoblanadi.

Masalan, birinchi navbatdagi n ta toq sonning yig'indisini topish talab qilinsin. Maxsus holatlarni ko'rib chiqing:

1+3+5+7+9=25=5 2

Ushbu bir nechta maxsus holatlarni ko'rib chiqqandan so'ng, quyidagi umumiy xulosa o'zini oqlaydi:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

bular. birinchi n ta ketma-ket toq sonlar yig'indisi n 2 ga teng

Albatta, olib borilgan kuzatish hali yuqoridagi formulaning to'g'riligiga dalil bo'la olmaydi.

To'liq induksiya faqat matematikada cheklangan qo'llanilishiga ega. Ko'pgina qiziqarli matematik bayonotlar cheksiz sonli maxsus holatlarni qamrab oladi va biz cheksiz sonli holatlarni sinab ko'ra olmaymiz. Tugallanmagan induktsiya ko'pincha noto'g'ri natijalarga olib keladi.

Ko'p hollarda bunday qiyinchilikdan chiqish yo'li matematik induksiya usuli deb ataladigan maxsus fikrlash usuliga murojaat qilishdir. Bu quyidagicha.

Har qanday natural n son uchun ma’lum bir fikrning to‘g‘riligini isbotlash zarur bo‘lsin (masalan, birinchi n ta toq sonlar yig‘indisi n 2 ga teng ekanligini isbotlash kerak). Ushbu bayonotni n ning har bir qiymati uchun to'g'ridan-to'g'ri tekshirish mumkin emas, chunki natural sonlar to'plami cheksizdir. Bu gapni isbotlash uchun avvalo n=1 uchun uning haqiqiyligini tekshiring. Keyin k ning har qanday natural qiymati uchun n=k uchun ko'rib chiqilayotgan fikrning to'g'riligi uning n=k+1 uchun ham to'g'riligini bildirishi isbotlanadi.

Keyin tasdiq hamma n uchun isbotlangan deb hisoblanadi. Haqiqatan ham, n = 1 uchun bayonot to'g'ri. Ammo keyin u uchun ham to'g'ri keyingi raqam n=1+1=2. n=2 uchun tasdiqning haqiqiyligi uning n=2+ uchun haqiqiyligini bildiradi

1=3. Bu n=4 uchun bayonotning haqiqiyligini anglatadi va hokazo. Oxir-oqibat, har qanday natural n soniga yetishimiz aniq. Demak, bu gap har qanday n uchun to'g'ri bo'ladi.