Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti fakulteti

2⁰. Matematik induksiya metodi. Yuqoridagi misollarni tahlili natijasida ushbu savol tug’iladi. Bir qancha xususiy hollarda to’g’ri bo’lgan biror tasdiq berilgan bo’lsin. Agar tasdiqda cheksiz ko’p hol nazarda tutilayotgan bo’lsa, bu tasdiqning to’g’riligini ko’rsatuvchi barcha cheksiz ko’p xususiy hollarni ko’rib chiqish inson qo’lidan kelmaydi (barcha natural sonlar uchun chiqarilgan tasdiqlar shular jumlasidandir). U holda qanday yo’l tutish kerak?
Demak, xususiy hollar cheksiz ko’p bo’lganida to’la induksiyani qo’llash imkoniyatiga ega emasmiz, xususiy hollarga asoslanib chiqa-rilgan tasdiq esa xato bo’lishi mumkin.
Induksiya yordamida biror gipoteza – tasdiq bayon etilgan bo’lib, bu tasdiqning ixtiyoriy natural son uchun to’g’riligini isbotlash kerak bo’lsin hamda tasdiqning to’g’riligini barcha lar uchun bevosita tekshirib ko’rishning iloji bo’lmasin. Ayni paytda tasdiq matematik induksiya prinsipiga asosan, quyidagicha isbotlanadi:
Bu tasdiqning to’g’riligi, avvalo uchun tekshiriladi. So’ngra aytilgan tasdiqni uchun to’g’ri bo’lsin deb faraz qilib, uning to’g’riligini uchun isbotlanadi. Shundan so’ng , tasdiq barcha lar uchun isbotlangan hisoblanadi.
Bularga asosan, agar tasdiq da to’g’ri bo’lsa, u navbatdagi son uchun ham to’g’ri bo’ladi. Tasdiqning uchun to’g’riligi-dan uning uchun to’g’riligi kelib chiqadi.
Bundan esa tasdiqning, o’z navbatida, uchun to’g’riligi kelib chiqadi va hokazo. Demak, tasdiq ixtiyoriy uchun to’g’ridir.
Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinsipni ifodalaylik:
1. da mulohazaning to’g’riligi tekshiriladi;
2. da mulohaza rost bo’lsin deb faraz qilib, uchun mulohazaning rostligi, ya’ni isbotlanadi. Shundan so’ng, mulohaza barcha lar uchun rost deb xulosa qilinadi.
1 – misol. Yuqoridagi prinsipga asoslanib, ixtiyoriy natural son uchun ushbu tenglikni isbotlang:

Bu yerda va bundan keyingi misoldagi tasdiqni deb belgilaymiz.
1. bo’lganda , demak, to’g’ri.
2. Ixtiyoriy natural son uchun ning to’g’riligidan ning kelib chiqishini isbotlaymiz. Ya’ni

to’g’ri bo’lsin. Yuqoridagi munosabatdan foydalansak:

hosil bo’ladi, bu esa ning o’zidir.
Bu esa, tasdiqning barcha lar uchun o’rinli bo’lishini bildiradi.
Matematik induksiya prinsipiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi.
Matematik induksiya metodiga asoslanib, biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko’rsatilgan 1 va 2 punktlarning har birini tekshirish (isbotlash) juda muhimdir. Agar ulardan birortasini hisobga olmasak, chiqarilgan xulosa to’g’ri bo’lmay qolishi mumkin.