Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti fakulteti

1.1-§. Induksiya haqida tushuncha

Har bir fanni egallash undagi turli-tuman faktlarni, asosiy qonuniyatlarni bilib olish bilan birga shu fandagi tadbiq qilish metodlarini o’zlashtirishni ham taqazo qiladi. Qadimiy va navqiron matematika fanida ham u o’rganadigan obyektlarning qonuniyatlarini ochuvchi qator metodlar yaratilgan. Ularning ba’zilari muayyan masalalar uchun maxsus yaratilgan bo’lsa, ayrimlari umummatematik ahamiyatga egadir.

Ana shunday umumiy xarakterdagi metodlarni mukammal egallash matematika fani sohasida yaxshi mutaxassis bo’lishning, uning ichki sirlarini anglab yetishning zaruriy shartidir.
Matematik induksiya metodi matematikaning turli-tuman, hatto bir-biridan juda olis sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo, bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovor. Ikkinchidan, bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma’lum “topog’onlik”ni talab etishi bilan ham xarakterlidir.
Matematik induksiya elementar matematikaning barcha sohalaridagina emas, balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo’limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir.
1⁰ . Deduktiv va induktiv fikrlash. Odatda, biror jarayon yoki voqea to’g’risida fikr yuritishning ikki shakli farq qilinadi: deduktiv fikrlash va induktiv fikrlash.
Deduksiya – fikrlashning umumiy tasdiqlardan xususiy tasdiqlarqa o’tish shaklidir (deduksiya so’zi mantiqiy xulosani bildiradi). Misollar ko’raylik.
1.4 – misol. Bir va o’zidan boshqa bo’luvchilarga ega bo’lgan sonlar murakkab sonlar to’plamini tashkil etadi.
(A)9 soni 1 va 9 dan boshqa 3 ga bo’linadi.
(B)Demak, 9 soni – murakkab son
1.5 – misol. Barcha to’rtburchaklar ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (A) trapetsiya – to’rtburchak.
(B) Demak, trapetsiya ko’pburchaklar oilasiga tegishli.
(C) Har ikkala misolda ham (A) umumiy tasdiqdan (B) tasdiq yordamida (C) xususiy tasdiq hosil qilinadi.

Induksiya – fikrlashning xususiy tasdiqlardan umumiy tasdiqlarga o’tish saklidir.
1.6–misol. 140 soni 5 ga bo’linadi.
(A) Demak, nol bilan tugaydigan barcha sonlar 5 ga bo’linadi.
(B) 5ga bo’linadon sonlar 0 bilan tugaydi

1.7–misol. 140 soni 5 ga bo’linadi. (A)

175 soni 5 ga bo’linadi. (B)
425 soni 5 ga bo’’linadi. (C)
Demak, barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi. (D)
1.6–misolda (A) xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq to’g’ridir.
1.7–misolda (A) , (B), (C) xususiy tasdiqlardan (D) umumiy tasdiq hosil qilindi. Lekin (D) tasdiq noto’g’ridir.
Tadqiqotchi biror faktni isbotlashdan avval, turli mulohazalar yordamida bu faktning borligini fahmlashi , uni isbotlashga kirishishdan avval esa isbotlash g’oyalarini anglab yetishi kerak bo’ladi.
Deduksiya va induksiya bir-birini to’ldiruvchi fikrlash shakllaridir. Haqiqatdan, ham isbotlanishi kerak bo’lgan tasdiqlar (gipotezalar) kuzatishlarga asoslangan holda induktiv yo’l bilan hosil qilinadi, so’ngra bu tasdiqning to’g’riligi isbotlashning biror deduktiv metodi yordamida ko’rsatiladi.
Induksiya metodi fizika, kimyo va boshqa tabiiy fanlarda, shuningdek, matematikada ham keng qo’llaniladi, ya’ni bu metod yordamida turli matematik tasdiqlar (gipotezalar) hosil qilinadi. Bunga misollar keltiraylik:
1.8–misol. 2 soninig ketma-ket kelgan uchta darajasining yig’indisini qaraylik:
.
Hosil bo’lgan son 7 ga bo’linadi. Endi

yig’indini tuzsak, hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali. Navbatdagi darajalarni ko’raylik:
.
Hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali.
Bajarilganlarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin: 2 sonining ixtiyoriy uchta ketma-ket kelgan darajasining yig’indisi 7 ga karralidir, ya’ni uchun yig’indi 7 ga qoldiqsiz bo’linadi.