Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

1.2. Lagranjning ko’paytuvchilar usuli. Mayli matematik programmalashtirish masalasi berilgan bo’lsin:
(1.5)
funksiyasining maksimum qiymatini quyida berilgan chegaralovchi shartlarida
(1.6)
toping.
Berilgan masaladagi chegaralovchi shartlari tenglama turida berilgan, shuning uchun uni yechish uchun ko’p o’zgaruvchiga ega funksiyaning shartli ekstremumini topishning klassik usullaridan foydalanamiz. Bunda va funksiyalari o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’ladi deb hisoblaymiz. Bu masalani yechish uchun ushbu quyidagi funksiyani yasaymiz
(1.7)
(1.7) funksiyaning xususiy hosilalarini aniqlaymiz , va ularni nolga tenglaymiz. Natijada ushbu tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(8)
(1.7) funksiyasini Lagranj funksiyasi deb, sonlarini esa Lagranj ko’paytuvchilari deb ataymiz. Agarda funksiyasi nuqtasida ekstremum qiymatiga ega bo’lsa, unda vektori bor bo’lib va nuqtasi (8) sistemaning yechimi bo’lib hisoblanadi. Demak, (8) sistemasining yechimidan funksiyasi ekstremal qiymatiga ega bo’lish mumkin bo’lgan nuqtalar to'plamiga ega bo’lamiz.Biroq bu yerda global minimum yoki maksimum nuqtalarini aniqlash usuli noma’lum. Biroq agarda sistemaning yechimi topilgan bo’lsa, unda global minimum(maksimum)ni aniqlash uchun mos nuqtalarida funksiyaning qiymatlarini hisoblash yetarli bo’ladi. Agarda va funksiyalari uchun ularning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bor bo’lib va ular uzluksiz bo’lsa, unda (1.8) sistemaning yechimi bo’ladigan nuqtalarda funksiyaning lokal ekstremum bor bo’ladiganligining yetarli shartlarini keltirishga bo’ladi.
1.3. Qavariq va botiq funksiyalar. Kelgusi vaqtda qavariq va botiq deb ataluvchi funksiyalaridan ko’proq foydalanamiz. Shuning uchun bir qator ta’riflarini keltiramiz. Mayli o’lchamli chiziqli fazosi berilgan bo’lsin. qavariq to'plamida berilgan funksiyasini qavariq funksiya deb ataymiz, agarda to’plamidan olingan istalgan va nuqtalari uchun va istalgan uchun ushbu quyidagi munosabati o’rinli bo’lsa
(1.9)
Ko’pincha to’plami chiziqli fazosi bilan ustma-ust tushadi, yoki musbat to’plam bo’ladi.
Qavariq to’plamida berilgan funksiyasi botiq funksiya deb ataladi, agarda to’plamining istalgan bir ikki va nuqtalari uchun va istalgan uchun ushbu quyidagi munosabati o’rinli bo’lsa
. (1.10)
Agarda funksiyasi qavariq funksiya bo’lsa, unda funksiyasi botiq bo’ladi va aksincha. Uning geometrik ma’nosi quyidagini anglatadi: agarda qavariq yuzasi ( ) bo’lsa, unda bu yuzaning istalgan bir ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesmasi shu yuzada yotadi yoki undan yuqori bo’ladi( 1 rasm).

1- rasm
Funksiyalarning qavariqligi va botiqligi fazosidagi qavariq to’plamlarga qarata aniqlanadiganligini atab o’tamiz, sababi ta’rifi bo’yicha istalgan bir va nuqtalari bilan birgalikda barcha uchun nuqtalari ham bu to’plamiga tegishli bo’ladi. Bu aytilganlar to’plamlar qavariq bo’lgan holatda o’rinli bo’ladi.
Agarda (1.9) va (1.10) tengsizliklari qa’tiy bo’lib va ular bajarilsa, unda funksiyasi qa’tiy qavariq(qa’tiy botiq) bo’ladi. Uning geometrik ma’nosi bo’yicha bu yuzaning istalgan bir ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesmasi yuzadan yuqori(past) joylashgan bo’ladi. qiymatlari uchun qa’tiy qavariq bo’lgan funksiyasi, biroq uchun qa’tiy emas qavariq bo’lgan funksiyasi 1 rasmda ko’rsatilgan.
Agarda bo’lsa, bunda - ba’zi-bir qavariq to’plamidagi qavariq funksiyalari, unda to’plamida funksiyasi ham qavariq bo’ladi.
Botiq funksiyalarning yig’indisi botiq funksiya bo’ladi degan tasdiqlash to’g’ri bo’ladi.
Agarda - fazosining musbat bo’lagida berilgan qavariq funksiyasi bo’lsa, unda shartlarini qanoatlandiradigan barcha nuqtalarning to’plami qavariq bo’ladi.
Bu tasdiqlashni isbotlash uchun da to’plami istalgan va nuqtalari bilan birgalikda nuqtasini o’z ichiga oladiganligini ko’rsatamiz, bunda . qavariq funksiya bo’lgani uchun, unda
.
va nuqtalari uchun va shartlari bajariladi.
Unda barcha uchun

bo’ladi.
Bundan
va
Isbotlandi.
Qavariq to’plamlarning kesishmasi qavariq bo’ladi, shuning uchun shartlarini qanoatlandiradigan barcha nuqtalar to’plami qavariq bo’ladi, agarda « » noma’lumiga ega tengsizliklarida qavariq funksiya bo’lsa, « » noma’lumiga ega tengsizliklarida esa botiq funksiya bo’lsa barcha uchun.
Funksiyaning qavariqligini yoki botiqligini aniqlaganda funksiya uzluksiz yoki differensiallanuvchi bo’lishi talab etilmaydi. Agarda to’plamining ichki nuqtalarida funksiyasi eng kamida bir marotaba uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lib va qavariq bo’lsa, unda ushbu quyidagi natijani olishga bo’ladi.
(1.9) dan uchun

topamiz.
Eng kamida birinchi tartibli xususiy hosilalari bor bo’lgani sababli, unda
funksiyasini Teylor formulasi bo’yicha quyidagicha yozishga bo’ladi:

Bunda - funksiyaning gradienti, bu gradient nuqtasida hisoblangan.
Unda

da chegarasiga o’tib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu sharti istalgan ichki va nuqtalari uchun bajariladi va funksiyasining qavariq bo’lishining zaruriy va yetarli sharti bo’ladi. Agarda funksiyasi o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsa va to’plamida botiq bo’lsa, unda
(1.11)
Qavariq va botiq funksiyalarning ba’zi-bir xususiyatlarini qaraymiz.