Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

TeoremaYaqinlashishlari quyidagicha tanlab olinsa,

, (4.10)

U holda barcha lar uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladı:

(4.11)

Bu erda (2.15) formulalari bilan aniqlanuvchi va ba’zi ( -sistema tartibi) da xossasiga ega bo’lgan vektor.

Isbotlash. Agar vektorlari (4.10) formula orqali aniqlansa, uchun (4.4) shartining bajarilishini tekshiramiz. Haqiyqatda

demak, (2.5) ga muvofiq

tengligini induksiya bo’yicha isbotlaymiz. Ushbu tenglik da o’rinli deb faraz qilamiz va uni to’g’riliginiuchun isbotlaymiz. Quyidagiga ega bo’lamiz:

Yoki faraz bo’yicha. Demak,

_.

vektor uchun (2.15) ni foydalanib, quyidagini olamiz

_,

shu sababli

Endi quyidagi vektorlarnig kolleniarligini isbotlaymiz:

va (4.12)

(2.15) va (4.6) dan quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu esa (4.12) vektorlarning kolleniarligini isbotlaydi

vektori tuzilishi bo’yicha nuqtadan o’tuvchi va, va vektorlariga tortilgan F funksionaliga minimumni beradi. Ammo, qo’shma gradientlar usulida ilgarida isbotlangan, , vektori yo’nalishida nuqtadan o’tuvchi to’g’rida yotadi vavektorda shu minimumga erishadi. Bu esa quyidagini anglatadi;:

Shunday qilib,

Tengligi da o’rinli bo’ladi, bu (4.12) tenglikning barcha larda o’rinli bo’lishni isbotlaydi. Teorema isbotlandi.

Yakunda qo’shma gradientlar usulining bu yangi variantini qo’llaganda hisoblashlarni bajarish tartibini bayon qilamiz. Bu usulni simmetrik va musbat matritsli (1.1) sistemani yechish uchun qo’llaganda hisoblashlarni quyidagi tartibda amalga oshiramiz:

1)(1.1) sistemasining yechimiga boshlang’ich yaqinlashuvchi vektorini tanlab olib, deb o’rganamiz;

2) Bundan so’ng vektori uchun mos kelmaydigan vektori va α₀=sonini aniqlaymiz;

3) Ulardan foydalanib , vektorinitopib, deb qabul qilamaiz;

4) deb belgilab, (4.2) fo’rmulalari bo’yicha , va vektorlarini, (4.6) fo’rmulalar bo’yicha sonlarini topamiz;

5) (1.1) sistemasining yechimiga ikkinchi yaqinlashish bo’lgan vektorini deb olib, (4.7) fo’rmulasi bilan aniqlaymiz;

6) Bundan so’ng yaqinlashuvi uchun deb olib (4.2), (4.6) va (4.7) fo’rmulalaridan foydalanamiz; va boshqa hisoblashlarni amalga oshiramiz. Bu usulning yaqinlashishlarining aniqligini baholashda , vavektorlarining uzunliklarini bazi bir o’lchamda, masalan Evklidlik normada hisoblash orqali amalga oshirishga bo’ladi.