Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

4-§. Qo’shma gradientlar usulining yangi varianti

Usulning quyida ko’riladigan varianti o’tkan holatdagiga nisbatan ancha ko’proq hisoblashlarni talab qiladi. Ammo u yaxlitlash xatolarga ancha kam sezgir, shu sababli u qo’shma gradientlar usuliga nisbatan qadamlarning kam sonlarida yechimga yaxshigina yaqinlashish imkonini ko’p hollarda beradi. Variantning ma’nosi quyidagicha. Biz ilgaridagidek funksionalining vektorlar to’plamida ba’zi X to’plmida quyidagi formula bo’yicha aniqlanadigan minimumini qidiramiz:

(4.1)

– ba’zi vektorlarsonlar. Ularni aniqlash qoidalarini ko’rsatamiz.

vektorinisistemasining echimining -chi ketma-ket yaqinlashishini anglatadi, vektorlari sifatida quyidagi vektorlarni olamiz:

, (4.2)

Ikkita boshlang’ich yaqinlashish ,larni quyidagi shartlar bajarilishini ta’minlaydigan tarzda tanlab olamiz:

(4.3)

() veltorlari shunday hisoblangan dep faraz qilamiz, bundan quyidagi tengliklar bajarilgan bo’lsin”

, () (4.4)

F() funksionalining minimumini hisoblash uchun X to’plamida

dan bo’yicha va bo’yicha olingan xususiy hosilalarini nolga tenglashtiramiz. Bu va ni aniqlash uchun quyidagi tenglamalar sistemasini beradi:

Yoki (4.4) ni hisobga olgan holda bo’lsa

(4.5)

bu sistemaning echimini orqali belgilaymiz:

(4.6)

Shu bilan birga takidlab o’tishimiz keraki, (4.4) hamma vaqt yechimga ega bo’ladi.

Shuni ta’kidlaymiz, (4.5) sistemaning determinanti noldan farqli, yoki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga muvofiq

;

tengsizligi bajariladi, ya’ni (4.4)sistemasining detirminanti no’ldan farqli bo’ladi. Bu tengsizlik va vektorlari ko’lleniar vektorlar bo’lgandagina tengsizlikga aylanadi (agarda ba’zi bir soni uchun yoki tengligi bajarilsa unda va vektorlari ko’lliniar vektorlar deb ataladi.). Bundan so’ng (1.1) sistemasining yechimiga () –yaqinlashish uchun quyidagi vektor olinadi:

(4.7)

(4.4) tengligining da ham bajarilishini ko’rsatamiz. Haqiyqatda (4.2), (4.5) va (4.5) larga muvofiq

. (4.8)

Demak,

(4.9)

Qo’shma gradientlar usuli variantining yaqinlashishi va cheklanganligi haqida teoremaham mavjud bo’lib, u quyidagicha.