Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

3-§. Usulni hisoblash algaritmning cheklanganligi

Endi qo’shma gradientlar usulining (2.15) fo’rmulalari bilan aniqlanadigan hisoblash algaritmining chegaralanganligini isbotlaymiz. Buning uchun bazi bir kuchun = bo’lishini ko’rsatamiz.

Dastlab quydagilarni ko’rsatamiz:

bo’lganda (3.1)

bo’lganda (3.2)

Bo’lishini isbotlaymiz. Tuzilishi bo’yicha bo’lganda

bo’ladi bundan tashqari, bo’lganda

bo’ladi. Shunda ning ta’rifi bo’yicha bo’lganda bu tenglikning o’ng tomoni no’lga teng bo’ladi. U holda

va

(3.3)

bo’ladi. Bundan ningta’rifi bo’yicha ketma-ket quyidagini olamiz:



_\

Shunday qilib, (3.1) nisbat isbotlandi.

(3.2) ni isbotlash uchun , masalan, i > j deb faraz qilamiz. U holda (43) ga muvofiq

bo’ladi. Shunday qilib bo’lganda bo’lishi ham tushunarli.

Shunday qilib, vektorlar sistemasi ortogonal bo’ladi.

Lekin n o’lchamli vektorli fazoda n dan ortiq o’zaro ortogonal vektorlar bo’lmaganligidan, iteratsion qadamning bazi bir qadamida

bo’ladi. Demak, bo’ladi va vektori sistemasining yechimi bo’ladi.

Eng tez pastga tushish usulidagidek, (2.15) fo’rmulalaridan foydalanib,

)

fo’rmulasini keltirib chiqarishga bo’ladi. Shunday qilib funksionali bilan hatolik funksiasining (bunda hatolik vektori) orasidagi bog’liqlikni xisobga olib,

)

fo’rmulasini yozishga bo’ladi. Bu so’ngi ikkita fo’rmulalariham, qo’shma gradientlar usulining chiziqli emas to’liq relaksatsiyalar usullarining guruxiga kirishini anglatadi.

Qo’shma gradientlar usulining barcha sxemalari (42) fo’rmulalari bilan aniqlanadi. Hisoblashlarni bajarish davomida taqribiylashishining aniqligi mos kelmaydigan vektorining uzunligini qandaydir bir o’lchamda (normada) baxolash yo’li bilan amalga oshiriladi. Bu usulni qo’llaganda bajariladigan asosiy amallar ko’paytirishlarini ko’p marotaba hisoblash bo’ladi va A matritsasini boshqa hech bir amalni bajarishda qatnashmaydi. Shunday ekan qo’shma gradientlar usulidan foydalanganda EHM larda yechish mumkun bo’lgan sistemaning eng yuqori tartibi A matritsasini vektorga ko’paytirish uchun kerak bo’lgan ma’lumotlarning hajmidan erkli bo’ladi. Shu sababli, bu usulni A matritsasi ko’p sondagi no’llik elementlariga ega bo’lgan sistemalarni yechishda qo’llash maqsadga muvofiq bo’ladi. Bunday matritsa hollarida va ko’paytmalarini EHM larda hisoblashni arifmetik amallarni bajarishga A matritsasining faqatgina no’ldan boshqa elementlarini qatnashtirib tashkil etishga bo’ladi.

Qo’shma gradientlar usuliga bazi kamchiliklar ham xos: (2.15) fo’rmulalar bilan aniqlanadigan iteratsion pratsesning chizziqsiz bo’lishiga bog’liq, iteratsiyalarning soni yetarlicha katta bo’lganda yaxlitlash hatoliklariga bog’liqsiz bo’lishi mumkun. Bunday hollarda vektorlarining ortaganali va vektorlarining A ortaganal bo’lish shartlari buziladi.

Shuning natijasida, haqiyqiy hisoblash bosqichlari bu usulning xossalarini to’liq tasvirlamaydi va bu sistemaning taqribiy yechimini juda katta hatolik bilan aniqlaydi. Sababi ko’rsatilgan hollarda, qo’shma gradientlar usulining ”chekli” bo’lishi va ”iteratsionlik” hossalari yo’qotiladi. Bu noqulayliklarning ta’sirini kamaytirish maqsadida, iteratsion bosqichning bir necha qadamidan so’ng, siklli turda vektorini ikki usul bilan:

fo’rmulalaribilanhisoblanib, ularbir-biridanfarqqilganhollarda, ikkinchi natijadan foydalanib borish kerak.

Qo’shma gradientlar usulining eng tez past tushish usuli kabi, matritsasi aynimagan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining xoxlagan turini yechishga bo’lishini takidlab o’tish lozim.

Usulning hisoblash algaritmini qo’llanganda eng tez past tushish usuli bilan yechilgan, matritsasi simmetrik va o’ng tomoni aniqlangan sistemani yechish masalasida tushuntiramiz. Bu sistemani boshlang’ich taqribiy hisobini oldingi holicha vektorini qabul qilib, hisoblashlarni (2.15) fo’rmula bo’yicha amalga oshiramiz.

Yuqorida aytib o’tilganidek, qo’shma gradientlar usulining hisoblash algaritmining birinchi qadami eng tez past tushish usuli algaritmining birinchi qadami bilan mos tushadi. Ya’ni sistemaning yechimini yangi taqribiy yechimi bu ikki usuldaham bir xil fo’rmula bilan aniqlanadi.