Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti

usulida yechish.
Faraz qilaylik birinchi darajali, ikkita noma’lumli ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1)
(1) sistemaning 1-tenglamasini a₂₂ ga, 2-tenglamasini -a₁₂ ga ko’paytirib qo’shsak
(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₁= b₁a₂₂-b₂a₁₂ (2
Agar (1) sistemaning 1-tenglamasini -a₂₁ ga, 2-tenglamasini a₁₁ ga ko’paytirib qo’shsak (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₂= b₂a₁₁-b₁a₂₁ (3)

(2) va (3) larga e’tibor bersak ikkinchi tartibli determinantning ta’rifiga ko’ra

x₁= ; x₂= ; (4)

(4) ga Kramer formulasi deyiladi.
(1) sistema yagona yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoya.
(4) ga e’tibor bersak berilgan (1) sistemadagi noma’lumlarning oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan 2-tartibli determinant ₁, ₂ lar esa mos ravishda ning birinchi va ikkinchi ustunlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar.
Agar uch noma’lumli uchta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib, bo’lsa
berilgan sistemaning yechimi
x₁= ; x₂= ; x₃= . (5)

Kramer formulalari orqali aniqlanadi. Bu yerda ham ₁, ₂, ₃ lar

ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
Agar birinchi darajali n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib,

bo’lsa, berilgan sistemaning yechimi Kramer formulasiga ko’ra quyidagicha aniqlanadi.

x₁= , x₂= , ... , x_n= (6)
₁, ₂, …, _n lar  ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
Misol. 1) (x=-1; u=2), 2) , (x=1;y=-2; z=-1).
Agar uch noma’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi
(7)
berilgan bo’lib,
₁= , ₂= _, ₃=
determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo’lsa, u holda (7) sistemaning barcha yechimlari
x=₁t, y=₂t, z=₃t (8)
formula bilan aniqlanadi. (t-ixtiyoriy son).
(9)
(9) da 0 bo’lsa, x=0 ,u=0 ,z=0 lar sistemaning yagona yechimi bo’ladi.
Agar ∆=0 bo’lsa, (9) ning cheksiz ko’p yechimi bo’lib,ular (7) kabi aniqlanadi.
Misol.1) (x=3t; u=4t;z=11t),
2) (x=2t;y=-3t; z=5t).
№5 Mavzu: Vektorlar algebrasi
Vektor, vektorning boshi, oxiri (uchi), vektorlar. Vektorlarni qo’shishdagi uchburchak va parallelogramm qoidalari. Vektorning proyeksiyalari, chiziqli boğliqli va chiziqli boğliqsiz vektorlar. Bazis. Yo’naltiruvchi kosinuslar. Vektorning koordinatalari. Vektorlar orasidagi burchak.
Vektor.
1-ta’rif. Aniq yo’nalishga ega bo’lgan chekli kesmaga vektor deyiladi.
A nuqtani vektorning boshi, B nuqtani esa vektorning oxiri yoki uchi deyiladi. Odatda vektor yoki ko’rinishda yoziladi. Kesmaning uzunligi vektorning modulini ya’ni son qiymatini ifodalaydi va | | yoki | | ko’rinishda yoziladi. Vektor degan so’z asli lotincha bo’lib, ko’chiruvchi, siljituvchi yoki tortuvchi degan ma’noni bildiradi
2-ta’rif. Agar vektorlar bitta to’ğri chiziqda yoki parallel to’ğri
chiziqlarda yotsa, bunday vektorlarga kollinear vektorlar deyiladi.
Kollinear so’zi lotincha «com» ya’ni birgalikda yoki umumiy ma’nosidagi va «Linia» ya’ni chiziq ma’nosidagi so’zlardan tuzilgan bo’lib, «chiziqdosh» degan ma’noni bildiradi.
3-ta’rif. Bitta tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi.
4-ta’rif. Har qanday va vektorlarning
1) modullari teng bo’lsa;
2) kollinear bo’lsa;
3) yo’nalishlari bir xil bo’lsa , u holda = deyiladi.
5-ta’rif. Uzunliklari teng bo’lib, yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lgan vektorlarga qarama-qarshi vektorlar deyiladi.