Бевосита хисоблашлар ёрдамида ушбу

III. -БОБ. БУЗИЛУВЧАН ЭЛЛИПТИК ТУРДАГИ СИНГУЛЯР
КОЭФФИЦИЕНТЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ БИР
СИНФИ УЧУН ЯРИМ ТЕКИСЛИКДА ДИРИХЛЕ
ВА ШАКЛИ ЎЗГАРГАН N МАСАЛАЛАРИ.

Ушбу бобда, ярим текисликда

, (3.1)

тенглама учун Дирихле ва шакли ўзгарган масаласи ўрганилади, бу ерда -ўзгармас сонлар.

1-§. Дирихле ва шакли ўзгарган масалаларнинг қўйилиши ва ечимнинг ягоналиги.

Дирихле масаласи. ярим текисликда (3.1) тенгламанинг ушбу

(3.2)
шартни қаноатлантирувчи ва чексизликда нолга айланувчи регуляр ечими топилсин.
Бу ерда берилган функция ва етарли катта лар учун


(3.3)

тенгсизликни қаноатлантиради, бу ерда ва ўзгармас сонлар.

Шакли ўзгарган масаласи: ярим текисликда (3.1) тенгламанинг ушбу
(3.4)
шартни қаноатлантирувчи ва чексизликда нолга айланувчи регуляр ечими ҳамда топилсин, бу ерда ва етарли катта лар учун


, (3.5)

бу ерда ва –ўзгармас сонлар,

3.1-теорема. Дирихле масаласи биттадан ортиқ ечимга эга эмас.
Исбот бўлсин. ярим текисликда нормал чизиқ ҳамда ўқининг кесмаси билан чегараланган соҳани тузамиз. Ихтиёрий сонини оламиз функциямиз чексизликда нолга айланганлиги сабабли етарли катта учун –тенгсизлик ўринли бўлади. Энди текисликнинг ихтиёрий нуқтасини оламиз, етарли катта лар учун нуқта соҳа ичига тушади ва экстремум принципига кўра тенгсизлик ўринли бўлади. сонининг ихтиёрийлигидан тенглик келиб чиқади, бундан эса ярим текисликда бўлади.
3.1-теорема исбот бўлди.
3.2-теорема. Шакли ўзгарган масаласи биттадан ортиқ ечимга эга эмас.
3.2-теорема 2.1-леммани ҳисобга олган ҳолда 3.1-теорема каби исботланади.