Binar munosabatlar

3. Antisimmetriklik. Agar x to‘plamning turli x va y elementlari uchun x element y element bilan R munosabatda bo‘lishidan y elementning x element bilan R munosabtda bo‘lmasligi kelib chiqsa, x to‘plamdagi R munosabat antisimmetrik munosabat deyiladi. Bu qisqacha va ko‘rinishda yoziladi. Masalan, “uzunroq” munosabati antisimmetrik munosbat bo‘ladi. Masalan, a kesma b kesmadan uzunroq bo‘lishidan b kesma ham a dan uzunroq bo‘lishi kelib chiqmaydi.
Antisimmetrik munosabat grafining ikkita uchi strelka bilan tutashtirilgan bo‘lsa, bu strelka yagona bo‘ladi.
4. Tranzitivlik. Agar X to‘plamdagi x elementning y element bilan R munosabatda bo‘lishi va y elementning z element bilan R munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat tranzitiv munosabat deyiladi. Buni qisqacha va ko‘rinishda yoziladi.
Tranzitiv munosabatning grafi x dan y ga va y dan z ga boruvchi har bir strelkalar juftligi bilan birga x dan z ga boruvchi strelkaga ham ega. Masalan, “x kesma y kesmadan uzunroq” munosabat tranzitivdir. Chunki, agar x kesma y kesmadan uzunroq, y kesma z kesmadan uzunroq bo‘lsa, x kesma z kesmadan uzunroq bo‘ladi.
4. Ekvivalentlik munosabati.
Ta’rif. Agar X to‘plamda berilgan R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda y ekvivalentlik deyiladi.
Masalan, to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi munosabati, figuralarning tenglik munosabati, biror universitetdagi “kursdoshlik”, so‘zlar to‘plamida “o‘zakdoshlik” kabi munosabatlar refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatlardan iborat, ya’ni ular ekvivalentlik munosabatlardir.
Ekvivalentlik munosabatiga yana bir qancha misollar qaraymiz:
1. R: “Sonli ifodalar to‘plamida x va y bir xil son qiymatga ega” munosabatni qaraymiz. Bu munosabat:
a) refleksiv, chunki x ifodaning son qiymati x ifodaning son qiymatiga teng;
b) simmetrik, chunki x ifodaning qiymati y ifodaning qiymatiga teng bo‘lsa, y ifodaning qiymati ham x ifodaning qiymatiga teng;
d) tranzitiv, chunki x ifodaning qiymati y ifodaning qiymatiga, y ifodaning qiymati esa z ifodaning qiymatiga teng bo‘lsa, x ifodaning qiymati z ifodaning qiymatiga teng. Demak, R ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.
Bu munosabat yordamida barcha sonli ifodalar sinflarga ajraladi, bunda har bir sinfda son qiymatlari bir xil bo‘lgan ifodalar joylashadi, masalan, 5+3, 2³, 2+2+2+2 va h.k. ifodalar bitta sinfga tegishli bo‘ladi, 7–3, 2², 16:4 lar boshqa sinfda joylashadi.
2. X={ } kasrlar to‘plamida S: “kasrlar tengligi” munosabatini qaraymiz. Bu munosabat:
1. Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘zi-o‘ziga teng.
2. Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrning x kasrga tengligi kelib chiqadi.
3. Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga, y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi. Bu munosabatning grafi 1-chizmada tasvirlangan.

1-chizma
Demak, S munosabat ekvivalentlik munosabat bo‘ladi. Yuqorida ko‘rilgan misollarda mavjud bo‘lgan umumiylik shundan iboratki, ularda munosabati berilgan to‘plam bir nechta qism to‘plamlarga ajraladi. Masalan, kasrlarning tengligi munosabatida X to‘plam uchta kasrlar o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratiladi, ularning birlashmasi X to‘plam bilan ustma-ust tushadi. Biz yuqorida ko‘rilgan munosabatlar uchun ham shunga o‘xshash hodisaga ega bo‘lamiz.