Bir jinsli suyuqliklarni filtrlashdagi muvozanatsizlik. Yoriq-kovakli va bir jinsli bo‘lmagan qatlamli plastdagi harakat

Yoriq-kovakli muhitda filtrlash masalasining qo‘yilish xususiyati. (11) tenglama va (10) sistema qator xususiyatga ega, ular bir qarashda noyobga o‘xshaydi va buning sababi bloklarning ahamiyatsiz kichik yoriqli kovakliligi va o‘tkazuvchanligi bilan muhitga taaluqli bo‘lgan qaralayotgan sistemaning buzilgan xarakterida yotadi. Shu bilan bog‘liq holda ushbu sistemaning yechimlari xossalarini tadqiq qilishga qiziqishni namoyish etadi.
Anglaymizki, (11) ko‘rinishdagi tenglama nafaqat bosimni, balki bosimni va, so‘ngra, ularning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasini ham qanoatlantiradi. Bunga ishonch hosil qilish uchun (11) ning ikkinchi tenglamasini ga ko‘paytirish va bo‘yicha differensiallash, so‘ngra dastlabki tenglamaga qo‘shish yetarli. Bundan so‘ng (10) sistemadan osonlikcha istisno qilinadi. Bu shuni ko‘rsatadiki, ikkala bosimga va ularning ixtiyoriy kombinatsiyalariga (11) tenglamaning ixtiyoriy yechimiga ega bo‘ladigan xossalar xos bo‘lishi kerak. Shu bilan birga ishonch hosil qilish qiyin emaski, bu chiziqli kombinatsiyalarning hammasi ham teng emas. Shularning ichida bitta, aynan borki, u yechim aniqlanishining yopiq sohasida chegarani ham hisobga olgan holda vaqt bo‘yicha uzluksiz bo‘lishi kerak. Haqiqatan ham, da fazoviy sohada (10) tenglamalar sistemasining cheklangan yechimini topish kerak bo‘lsin; va bosimlarning boshlang‘ich taqsimlanishi berilgan bo‘ladi. (10) ning birinchi tenglamasini kichik vaqt oralig‘i bo‘yicha integrallab va ni nolga intiltirib quyidagini topamiz:
.
Endi (10) sistemaning ikkinchi tenglamasini quyidagi ko‘rinishda tasavvur qilamiz:
.
Agar vaqtning yetarlicha kichik momentlari tanlansa, u holda ushbu ifodaning birinchi hadi o‘zining boshlang‘ich qiymatiga intiladi. So‘ngra, boshqa hadlarning ikki yig‘indisi ham shu qiymatga teskari belgi bilan intiladi. Shuning uchun bosim da uzluksiz bo‘lishi uchun boshlang‘ich taqsimlanish mos chegaraviy shartlarda quyidagi tenglamani qanoatlantirishi zarur:
. (12)
Aks holda bosim da yoriqlarda (10) tenglama bilan muvofiq tarzda sakrash tarzda o‘zgaradi. Agar va shuning uchun o‘zgarmas da teshiklarda bosimning qayta taqsimlanishi darhol amalga oshadi. Bu oddiy fizik ma’noga ega. va bosimlarning o‘zgarishi kovakli bloklarni to‘ldiruvchi suyuqliklar massasini o‘zgarishini chaqiradi, u bloklardan yoriqlarga yoki aksincha, ma’lum miqdordagi suyuqlikning to‘lib ketishiga olib keladi. Agar suyuqlik massasining o‘zgarishi chekli (cheksiz kichik emas) bo‘lsa, u chekli vaqtni talab qiladi chunki cheklangan bosim kuchi ta’sirida amalga oshadi, bunda cheksiz katta tezlikdagi toshib ketishni chaqira olmaydi. Bu shuni ko‘rsatadiki, suyuqlik bloklarida joylashgan massaning darhol o‘zgarishi imkonsiz, so‘ngra esa ushbu massa bilan bir xil bog‘langan keltirilgan bosimning darhol o‘zgarishi ham imkonsiz. Agar va lar sakrash bilan bir vaqtda o‘zgarishida keltirilgan bosim o‘zgarmasa, u holda suyuqlik joyidan ko‘chmaydi va bunday kelishilgan bosimning darhol o‘zgarishi mumkin bo‘ladi. Agar yoriqlarning xususiy hajmini ham hisobga olsak, u holda yoriqlarning effektiv hajmi o‘zgarishini aniqlovchi boshqa bog‘liqmas bosimlar kombinatsiyasi paydo bo‘ladi; va bosimlar da uzluksiz bo‘ladi, va ularning boshlang‘ich qiymatini alohida berish zarur bo‘ladi.
(10) sistemaning boshqa xususiyati shundan iboratki, bevosita kovakli bloklar bo‘yicha suyuqlik oqimining kichikligida unda istisno bo‘ladi. Shuning uchun muhitning ikki qo‘shni nuqtalari orasidagi teshikli bosimlar farqini tenglashtirish faqatgina o‘rtacha bloklar va yoriqlar va ularning yoriqlar bo‘yicha harakatlanishi orasida suyuqliklar almashinuvi amalga oshishi mumkin. Natijada (10) tenglama bilan ifodalanadigan yoriq-kovakli muhitda g‘ovakli bosim uzluksizligining buzilishi (sakrashlar) mavjud bo‘lishi mumkin, ular (egiluvchi rejimdagi kabi) darhol yo‘qolmaydi, balki vaqtda eksponensial qonun bo‘yicha so‘nadi. Bunga ishonch hosil qilish uchun sakrashlarda (10) sistemaning yechimi uchun shart o‘rnatamiz.
Σ uzilishning izolyatsiyalangan sathini qarab chiqamiz. Sakrashlardagi shartlarni chiqarishda uni tekis deb hisoblash mumkin va tekislik deb qabul qilish mumkin.
(10) ning ikkinchi tenglamasini dan gacha bo‘lgan chegarada bo‘yicha integrallaymiz. da , , va cheklanganliklarning kuchi bilan quyidagiga ega bo‘lamiz:

Shu tarzda hosila va shu bilan birga bosimning o‘zi yoriqlarning Σ sathida uzluksiz bo‘ladi.
Endi uzilish sathining oldingi nuqtalari ( ) uchun va ushbu sathdan tashqaridagi nuqtaalari ( ) uchun mos qiymatlarni + va – belgilar bilan belgilab, (10) sistemaning birinchi tenglamasini yozamiz va hosil bo‘lgan tenglamalarni bir biridan ayiramiz. Quyidagiga ega bo‘lamiz:

Isbotlanganlik bo‘yicha bo‘ladi, shu sababli bosimning sakrashi uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
. (13)
Shu tarzda g‘ovakli bosimning sakrashi (13) tenglamani qanoatlantirishi kerak yoki integrallashdan so‘ng
. (14)
Bu yerda orqali momentdagi boshlang‘ich sakrash belgilangan. Endi Σ` ( bosimning bo‘ladigan yoki bo‘lmaydigan uzilish sathi) sathning yaqinida hosila uzluksiz bo‘lsin. Shunda (10) sistemaning birinchi tenglamasi Σ` ( tekislikda qabul qilinadigan) sathdan tashqarida bo‘yicha differensiallash mumkin, shu bilan quyidagiga ega bo‘lamiz:
. (15)
Ushbu tenglamaga yuqoridagi mulohazalarni qo‘llab va Σ` sathda hosilaning uzluksizligidan foydalangan holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
, . (16)
Belgilangan (11) tenglamaning va (10) sistemaning yechimi xususiyatlari boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning qo‘yilishiga muvofiq keluvchi xususiyatlarni keltirib chiqaradi, ular ushbu yechimlarni qanoatlantirishi kerak.
Avvalo, aytilganidek, nolga intilganida ikki bosimni (teshiklarda va yoriqlarda) oldindan berilgan ; qiymatlarni qabul qilishini talab qilmaslik kerak. Keltirilgan bosimning uzluksizlik sharti albatta amal qilinishi kerak, shunda yoriqlardagi bosim (12) tenglamadan aniqlanadi va u uzilishga ega bo‘lishi mumkin. Shu tarzda boshlang‘ich shart quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
. (17)
O‘z navbati bilan, faqatgina yoriqlardagi bosim chegara sohasiga intilganida o‘zining hosilalari bilan birga uzluksiz bo‘lishi kerak.