Bir jinsli suyuqliklarni filtrlashdagi muvozanatsizlik. Yoriq-kovakli va bir jinsli bo‘lmagan qatlamli plastdagi harakat

Bosimlarning muvozanatsiz taqsimlanishi. Eslatib o‘tilganidek, yoriq-kovakli muhitning xarakterli ahamiyatliligi shundan iboratki, yoriqlar hajmi kichik va suyuqlikning asosiy zaxirasi kovakli bloklardan iborat bo‘lgan vaqtda suyuqlik harakati unda asosan yoriqlar bo‘yicha amalga oshadi. Yoriq-kovakli plastning chegarasida suyuqlik dastlab bosimda joylashishi va bosimning ba’zi boshqa qiymatgacha kamayishini faraz qilamiz. Bloklarning o‘tkazuvchanligiga ahamiyat bermasdan yoriqlardagi harakatni tavsiflash uchun kovakli muhitda filtrlash nazariyasining oddiy munosabatlaridan (masalan, kuchsiz siqiluvchi suyuqlik va egri deformatsiyalanuvchi plast holatida – egrilik rejimi nazariyasi tenglamasidan) foydalanish mumkin. Yoriqlarda ba’zi ko‘chish jarayonidan keyin bosimning yangi statsionar taqsimlanishi o‘rnatiladi, shu bilan birga hech bo‘lmaganda plastning yaqin chegarasida bosim dastlabkidan yetarlicha past bo‘ladi. Bosim bloklarda ularning o‘tkazmaslik farazlarining kuchi bilan o‘zgara olmasligi sababli, bloklardagi suyuqliklar va yoriqlardagi suyuqliklar orasida tartibli bosimlarning yetarlicha farqi yaratiladi, so‘ngra, bloklarda mavjud plastdagi yoriqdagi bosim gradiyentdan yetarlicha ustun turadigan bosimlarning lokal gradiyentlari paydo bo‘ladi. Ushbu shartlarda plastda bloklarning eng ahamiyatsiz o‘tkazuvchanligida ham lokal filtrli oqimlar paydo bo‘ladi, ular bloklardagi yoriqlardan suyuqlukning kuchayishini shartlashtiruvchi va mahalliy bloklar va yoriqlar orasidagi bosimlar farqini tekislaydi.
Yoriq-kovakli muhitning nostatsionar jarayonida bosimning mahalliy farqi va bloklar va yoriqlar orasidagi mahalliy oqimlar paydo bo‘lishi mumkin, bu haqiqat yoriqlarning kichik yig‘indili hajmida kam o‘tkazuvchi kovakli bloklar va yoriqlardan tashkil topgan muhitni tavsiflash asosida yotadi.
Muhitning berilgan nuqtasida suyuqlikning bitta bosimi o‘rniga ikkitani ya’ni yoriqlardagi bosim va blok teshiklaridagi bosimlarni kiritamiz. Farazda bloklarning o‘tkazuvchanligi juda kichik bo‘ladi, suyuqlikda filtrli oqimni aniqlash uchun muhitning ba’zi maydonlariga (2) tenglamaga yoriqlardagi bosimning qiymatlarini qo‘yish orqali foydalanish mumkin.
Yoriqlar va bloklardagi suyuqlikning balans tenglamasini tuzamiz. Yoriqli kovakni (yoriqlar hajmining muhitning to‘liq hajmiga bo‘lgan munosabati) orqali belgilab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
, (3)
bu yerda - muhitning hajm birligida bloklardan yoriqlarga vaqt birligida oquvchi suyuqliklar soni.
Bloklar uchun bevosita filtrlash oqimiga ahamiyat bermaslik mumkin, shu sababli uzluksizlik tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
, (4)
bu yerda - bloklar kovakligi (hisobda muhitning umumiy hajmi bo‘yicha).
Ega bo‘lgan tenglamalar sistemasini yopiq qilish uchun va kovakliklar o‘zgarishini bosim bilan bog‘lovchi tenglamalar va suyuqliklarning holat tenglamasidan tashqari oqim uchun ham ifoda berish kerak. Ushbu ifodaga o‘lchovlar tahlilidan ega bo‘lish mumkin. Avvalo anglashimiz kerakki, plastdagi suyuqliklar harakati inersiyasiz bo‘lganligi sababli, bloklardagi suyuqliklar harakati ham inersiyasiz bo‘ladi. So‘ngra, oqim o‘lchamli va bloklarning o‘tkazuvchanligi, suyuqlik qovushqoqligi, uning zichligi bo‘lgan yoriqlarda va bloklarda bosimga bog‘liq bo‘lishi mumkin va, va bosimlarning tengligida nolga aylanishi kerak. Avvalo zichlik va suyuqlik qovushqoqlik bosimga kam bog‘langan deb faraz qilamiz va ularni bloklar o‘tkazuvchanligi kabi o‘zgarmas deb hisoblash mumkin. Shunda uchun ifoda bosimning boshlang‘ich hisobini tanlashga nisbatan invariant bo‘lishi kerak va u faqatgina ayirmaga bog‘liq bo‘lishi mumkin. Shu tarzda o‘lchov kattaliklari , , , , ga bog‘liq bo‘ladi.
Endi bilamizki, o‘tkazuvchanlik o‘lchov harakatining inersiyasizligi sababli, bosim va qovushqoqlik faqatgina bitta shartda bog‘liqsiz tanlanishi mumkin; shu sabab tufayli hisoblash mumkinki, massa o‘lchovi bosim va qovushqoqlikning o‘lchovlariga bog‘liq emas.
Bu yerdan quyidagi kelib chiqadi:
, (5)
bu yerda - muhitning geometriyasini xarakterlaydigan o‘lchami bo‘lmagan o‘zgarmas. (5) munosabat aniqlashtirilishi kerak, agar suyuqlik zichligi va uning qovushqoqligi bosimga bog‘liq bo‘lsa.
Masalan, termodinamik ideal gazni filtrlashda quyidagiga ega bo‘lamiz:
, (6)
bu yerda - zichlikka javob beruvchi bosim.
yoriqli kovak odatda kichik bo‘ladi va ko‘p hollarda unga ahamiyat bermaslik mumkin, agar muhit yoriq-kovakli bo‘lsa (ammo haqiqiy yoriq bo‘lmasa), bloklar kovakligini esa ikki va bosimlarning funksiyasi deb hisoblash mumkin. Chiziqli yaqinlashish bilan chegaralangan holda quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz:
, (7)
bu yerda , va kattaliklarni o‘zgarmas deb hisoblash mumkin.
kovaklikning o‘zgarishini, odatda, faqatgina u differensiallanuvchi bo‘lgan ifodalarda hisobga olish mumkin. Bundan tashqari, faqatgina zichlik bilan ko‘paytmasi sababli tenglamaga kirsa, kovaklikning o‘zgarishi faqatgina kuchsiz siqiluvchi (tomchili) suyuqliklardagina o‘rinli bo‘ladi; gazni filtrlashda ular bilan ahamiyat bermaslik mumkin. Tomchili suyuqliklar holati bilan cheklangan holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
, (8)
bu yerda - suyuqlikning yoriqlarda yoki bloklarda qaralishiga qarab tanlanadi.
(2), (7) va (8) ifodalarni (3) ga va (4) ga qo‘yib va deb hisoblab, quyidagi tenglamalar sistemasi ega bo‘lamiz:
;
. (9)
Ko‘pincha muhitning bir jinsli va izotropik holatlari qarab chiqiladi, shu sababli o‘tkazuvchanlik doirali tenzor bilan ifodalanadi. Shu bilan birga (9) sistema quyidagi oddiy ko‘rinishni qabul qiladi:
, , (10)
bu yerda
; ; .
(10) sistemadan bosimlarning bittasini istisno qilish mumkin. ni ikkinchi tenglamadan aniqlab va qabul qilingan qiymatni birinchi tenglamaga qo‘yib quyidagiga ega bo‘lamiz:
; . (11)
da chegarada bloklar va yoriqlardagi suyuqlikning to‘siqsiz almashinuviga muvofiq keladi, (11) tenglama piezoo‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti bilan egri rejimning oddiy tenglamasiga o‘tadi. Ko‘rish qiyin emaski, ushbu piezoo‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti yoriqlar va kovaklik va bloklar siqilish sistemasi o‘tkazuvchanlikka javob beradi.