Bir o’zgaruvchili funksiya funksiya tushunchasi

2. Juft va toq funksiyalar.

4-ta’rif. Agar ixtiyoriy xX uchun -xX bo‘lsa, u holda X to‘plam simmetrik to‘plam (O nuqtaga nisbatan) deyiladi.

5-misol. X₁=(-a;a), X₂=(-;+), X₃=[-a;a] lar simmetrik to‘plam bo‘ladi.

6-misol. X₄=[-2;3], X₅=(0;+) to‘plamlar simmetrik to‘plam emas.

Aytaylik f(x) funksiya X simmetrik to‘plamda berilgan bo‘lsin.

5-ta’rif. Agar ixtiyoriy xX uchun f(-x)=f(x) bo‘lsa, u holda f(x) juft funksiya deyiladi.

6-ta’rif. Agar ixtiyoriy xX uchun f(-x)=-f(x) bo‘lsa, u holda f(x) toq funksiya deyiladi.

Masalan, f(x)=x², f(x)=x⁶+1, f(x)=x²ⁿ funksiyalar juft, f(x)=x³, f(x)=sinx, f(x)=lg(x+) lar toq funksiyalarga misol bo‘ladi.

Shulardan biri, f(x)=lg(x+) funksiyaning toqligini tekshirib ko‘raylik:

f(-x)=lg(-x+)=lg=

=lg=lg(x+)^-1=-lg(x+)=-f(x)

Demak, f(x)=lg(x+) toq funksiya ekan.

Juft funksiya uchun f(-x)=f(x) bo‘lgani sababli, uning grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi (11-rasm).

Toq funksiya uchun f(-x)=-f(x) bo‘lgani sababli, toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi (12-rasm).

Shuning uchun, juft funksiyalar grafigini chizishda, grafikning x0 ga mos kelgan qismini chizish kifoya. Grafikning ikkinchi qismi esa, shu chizilgan grafikni ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik almashtirish yordamida hosil qilinadi.

Toq funksiyada ham shunday bo‘ladi, faqat simmetrik almashtirish, koordinatalar boshi 0 ga nisbatan olinadi.

Shunday funksiyalar borki, ularni toq ham, juft ham deb bo‘lmaydi. Masalan, f(x)=x²+x³, g(x)=2+x⁵, h(x)=tgx+x².

Simmetrik to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy f(x) funksiyani toq va juft funksiyalarning yig‘indisi ko‘rinishida yozish mumkin.

Haqiqatan, f(x)= belgilashda, birinchi qo‘shiluvchi juft, ikkinchi qo‘shiluvchi toq funksiya bo‘ladi (Mustaqil tekshirib ko‘ring).