Bir o’zgaruvchili funksiya funksiya tushunchasi

3. Murakkab funksiya. Funksiyalar kompozitsiyasi. Aytaylik, u=(x) funksiya X sohada aniqlangan va qiymatlar to‘plami E() bo‘lsin. Shuningdek, y=f(u) funksiya E() to‘plamda aniqlangan bo‘lsa, u holda y=f((x)) funksiya X to‘plamda aniqlangan murakkab funksiya yoki  va f funksiyalarning kompozitsiyasi deyiladi va f_ orqali belgilanadi: f_=f((x)).

7-misol. Agar y=, u=1-x² bo‘lsa, u holda y= funksiya [-1;1] da aniqlangan murakkab funksiya bo‘ladi.

8-misol. Agar y= va u=lgx bo‘lsa, u holda у= funksiya (0;+) da aniqlangan murakkab funksiya bo‘ladi.

9-misol. y= funksiyani u=x² va y=e^u funksiyalardan tuzilgan murakkab funksiya deb qarash mumkin.

4. Monoton funksiyalar. Aytaylik, у=f(x) funksiya X to‘plamda berilgan bo‘lsin.

7-ta’rif. Agar X to‘plamdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ lar uchun x₁<x₂ tengsizlikdan f(x₁)<f(x₂) tengsizlik kelib chiqsa, u holda funksiya X to‘plamda o‘suvchi deb ataladi.

8-ta’rif. Agar X to‘plamda olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ lar uchun x₁<x₂ tengsizlikdan f(x₁)>f(x₂) tengsizlik kelib chiqsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda kamayuvchi deb ataladi.

9-ta’rif. Agar X to‘plamda olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ lar uchun x₁<x₂ tengsizlikdan f(x₁)f(x₂) (yoki f(x₁)f(x₂)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda kamaymaydigan (yoki o‘smaydigan) deyiladi.

O’suvchi, kamayuvchi, kamaymaydigan, o‘smaydigan funksiyalar, bitta umumiy nom bilan monoton funksiyalar deyiladi. Demak, monoton funksiya deganda, shu to‘rt xil funksiyadan biri tushuniladi (13-rasm).

10-misol. у=2x+1 funksiya (-;+) da o‘suvchi, chunki x₁<x₂ bo‘lsa, u holda

f(x₂)-f(x₁)=2x₂+1-(2x₁+1)=2(x₂-x₁)>0

bo‘ladi va f(x₁)<f(x₂) tengsizlik kelib chiqadi.

11-misol. у=-x³ funksiya (-;+) da kamayuvchi.

Haqiqatan, agar x₁<x₂ bo‘lsa, u holda

f(x₂)-f(x₁)=-(x₂)³+(x₁)³=(x₁)³-(x₂)³=(x₁-x₂)((x₁+)²+(x₂)²)<0

bo‘ladi va f(x₁)>f(x₂) tengsizlik kelib chiqadi.

5. Teskari funksiya. Aytaylik, у=f(x) funksiya X to‘plamda berilgan bo‘lib, Y=E(f)={f(x): xX} uning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Endi Y to‘plamni X to‘plamga akslantiruvchi funksiya, ya’ni teskari funksiya bor yoki yo‘qligini tekshiramiz. Y to‘plamdan olingan ixtiyoriy у_o uchun, X to‘plamda у_o=f(x_o) tenglikni qanoatlantiruvchi x_o soni mavjud. Bunday son bitta, yoki bir nechta bo‘lishi mumkin.

Agar Y dan olingan har bir у uchun X to‘plamda у=f(x) tenglikni qanoatlantiruvchi x faqat bitta bo‘lsa, u holda x=(y) funksiyaga ega bo‘lamiz. Bu funksiya у=f(x) funksiyaga teskari funksiya deyiladi.

Masalan, X=Y=(-;+) da berilgan у= funksiya x=у³ funksiyaga teskari funksiya bo‘ladi.

Ba’zan, у=f(x) funksiyaga teskari funksiyani x=f ^-1(у) kabi ham belgilashadi.

Agar x=(у) funksiya у=f(x) funksiyaga teskari funksiya bo‘lsa, u holda у=f(x) funksiya x=(у) funksiyaga teskari funksiya bo‘ladi. Shu sababli, bu ikki funksiyani o‘zaro teskari funksiyalar deyiladi.

Ma’lumki, у=f(x) funksiyada x argument, у funksiya deb yuritiladi. Unga teskari bo‘lgan x=(у) funksiyada x va у lar o‘rnini almashtirib у=(x) funksiyaga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, bir xil belgilash bo‘lganda ham, у=(x) funksiya у=f(x) funksiyaga teskari funksiya deb qaraladi.

Aytaylik у=f(x) va у=(x) funksiyalar berilgan bo‘lsin. Agar f((x))=x va (f(x))=x tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda f(x) va (x) funksiyalar o‘zaro teskari funksiyalar bo‘ladi.

Masalan, у=3x-1 va у= (x+1) berilgan bo‘lsin. U holda

(3(x+1)-1)=x va ((3x-1)+1)=x munosabatlarga ko‘ra bu ikki funksiya o‘zaro teskari funksiyalar ekan.

O’zaro teskari у=f(x) va у=(x) funksiyalarlarning grafiklari, у=x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi 14-rasm

(14-rasm).