Birinch tartibli oddiy differensial tenglamalarni taqriban yechimining giyometrik ifodasi

JIZZAX DAVLAT PEDAGOGIKA INSITUTI
SIRTQI BOLIMI “INFORMATIKA VA UNI O’QITISH METODIKASI” YONALISHI
IV-KURS TALABASI KELDIBEKOVA (URISHEVA) MALIKANING
KAMPYUTERNI MODELLASHTIRISH FANIDAN “BIRINCH TARTIBLI ODDIY
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBAN YECHIMINING GIYOMETRIK IFODASI”
MAVZUSIDA TAYYORLAGAN




AMALIY MASHG’ULOT



BIRINCH TARTIBLI ODDIY
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBAN YECHIMINING GIYOMETRIK IFODASI

Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi.

Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izlanayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:
F(x, y, y, y, …, y (n) ) = 0
n – tenglamaning tartibi. n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c1, c2, .., cn oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi:
y = (x, c1, c2, .., cn).
Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi.
Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday masala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari boshlangʻich shartlar deb ataladi.
Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala chegaraviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari chegaraviy shartlar deb ataladi.
Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi.
Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1) y = x 3 y 2 , y(1) = 2;
2) y = y + xy3 , y(1) = 1 , y(1) = 0.
Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1) y + 2y – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0;
2) y = x + xy – y , y(1) = 0 , y(1) = 0 , y(3) = 2 .
Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishni qarab chiqamiz.
Koshi masalasi. Ushbu

birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning

y(x₀)=y₀
boshlangʻich shart bilan [x0, xn] kesmadagi yechimini toping.
Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar
h = (xn – x0)/n
qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [x0, xn] kesmadagi
x_i = x₀ + ih, i=0, 1, .., n
nuqtalardan foydalaniladi.
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish:

xi	x0	x1	….	xn
yi	y0	y1	….	yn

yaʼni y(x) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izlanadi.

Berilgan tenglamani [xi, xi+1] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
Y_i+1-y₁=
Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli integallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.
Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning universial usuli tavsiflangan:
y(x) = f(x,y(x)), x0  x  x0 + L, (1)
y(x0) =  . (2)
bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi.
Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u berilgan [x0, x0+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalarda (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x0 nuqtada qoʻshimcha (boshlangʻich) shart (2) ni qanoatlantirsi
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y) funksiya [x0 , x0+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x*, y*) nuqtasida aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm).




(X
x₀ x₁ x₂ x _N-1 x₀+X=x_N
x₀ x₀₊X
1-rasm. 2-rasm
N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x0 , x0 + L] ni
h = L/N (3)
uzunlikli N ta boʻlakka
xi = x0 + ih, i = 0, 1, …, N (4)
nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm).
Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [x0, x0+L] kesmadagi toʻr, xi nuqtalarning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz.
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [xi, xi+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u toʻrning qadami deb ataladi (3-rasm). N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami nolga intiladi:
N  da h  0, (5)
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.
x_i x_i+l

h
3-rasm.

Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugunlaridagi y(xi) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning xi nuqtasida y(xi) hosilaning yozilgan ushbu
y(xi) = f(xi, y(xi)) (6)
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish: h y x y x h y x h y
.
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.
Faraz qilaylik, i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi boʻlsin:

Bu yerdan y(xi) hosilani quyidagicha
y’(x_i)=
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:
+ (8)
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(xi) va y(xi+1) miqdorlar qanoatlantiradi.

i = 0, 1, …, N–1

lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib boʻlmaydi, chunki bu tugunda xi+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan i xatolik hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib barcha y(xi) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x0) maʼlum. Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.
Runge-Kutta usullari nafaqat Koshi masalasini yechishda, balki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi uchun yozilgan chegaraviy masalalarni yechishda ham qoʻllanilishi mumkin. Bunda chegaraviy masalani yechish qoidalari o'q otish usuli deb ataluvchi Koshi masalasini ketma-ket yechi
Masalan, ushbu
y₁'(x )=f₁ (x ,y₁ (x ),y₂ (x )), y₂ '(x )=f2 (x ,y₁ (x ),y₂ ( x)),
x₀
y₁’(x), y₂ (x₀  L)  ,
xuddi shu differensial tenglamalar sistemasi uchun ushbu
y1 (x0 ) , y2 (x0 )   ,
boshlangʻich shartli Koshi masalasi qaraladi. (89) dagi ikkinchi boshlangʻich shartning oʻng tomonidagi  shunday tanlanadiki, bunda y2() yechim Koshi masalasini (88) ning ikkinchi chegaraviy sharti boʻyicha qanoatlantirsin:
y2 (x0  L, )  ;
bularga koʻra y1() va y2() yechimlar chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimlari boʻladi.
Absrakt nuqtai nazardan  ni tanlash masalasi quyidagi funksiyaning ildizini topish masalasidir:
( )  y2 (x0  L, )  .
Bu tenglamani yechish uchun oraliqni teng ikkiga boʻlish usulidan foydalanamiz. Bu maqsadda 1, 1 (1< 1) qiymatlar shunday tanlanadiki, [1, 1] kesmaning oxirlarida Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Bu hoda Ф funksiyaning uzluksizligidan (faraz qilamizki, Koshi masalasi yechimining boshlangʻich shartlarning oʻng tarafidan bogʻliqlik ifodasi uzluksiz boʻlsin) bunday kesma izlanayotgan ildizni oʻz ichiga oladi. Kesmani 1 nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va [1,1] ,[1,1] kesmalardan birini shunday tanlaymizki, tanlangan kesmaning oxirlarida Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Tanlangan kesmani [2, 2] kesma deb belgilab, uni 2 nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va hokazo. Bu jarayonning qaysidir bir qadamida [n, n] kesmaning uzunligi ildizni topishning mumkin boʻlgan xatoligidan kichikligi kelib chiqsa, hisob jarayoni toʻxtatiladi va oxirgi kesma n ning oʻrtasi izlanayotgan  ning qiymatiga yaqinlashish sifatida deb qabul qilinadi.
( )  0 tenglamani yechishning boshqa usullari bilan tavsiya etilgan adabiyotlar orqali tanishish mumkin.
Quyida bir qadamli usullarning yana bir guruhi – yechimni Teylor qatoriga yoyish usullari bilan tanishaylik.
Bunday usulning gʻoyasini ikkinchi tartibli aniqlikka ega usul misolida tushuntiraylik.
Berilgan differensial tenglamaning y (i) yordamchi yechim uchun chiqarilgan (62) Teylor yoyilmasini qaraymiz, undagi uchinchi tartibli kichiklikka ega hadni tashlab yuboramiz va hosil boʻlgan miqdorni xi+1 tugundagi toʻr yechim deb qabul qilamiz. Boshqacha qilib ayganda, quyidagini yozamiz:
y_i+1=y⁽ⁱ⁾(x_i)+(y⁽ⁱ⁾)’(x_i)h+ ( )h².
Bu yerda y (i) funksiyaning va uning xi nuqtadagi hosilalarinining qiymatini (63) va (65) formulalar yordamida almashtirib, quyidagi hisob formulasiga kelamiz:
y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i)+1/2(f_x’(x_i,y_i)+f_y’(x_i,y_i))f(x_i,y_i)h².
Analitik nuqtai nazardan chiqarilgan fikrlar shuni anglatadiki, [xi,xi+1] kesmada y (i) yordamchi yechimni ikkinchi tartibli hosilasi y (i) yordamchi yechimning xi nuqtadagi hosilasi bilan mos keluvchi ikkinchi tartibli koʻphad bilan almashtirni anglatadi, geometrik nuqtai nazardan esa bu y (i) yechimning grafigini grafigi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi, shu nuqtada y (i) umumiy yechim bilan bir xil urinmaga va bir xil egrilik radiusiga (bunday holda ikkita egri chiziqning oʻzaro urinishi «ikkichi tartibli urininsh» deb taladi) ega parabola bilan almashtiriladi. Bunda yi toʻr yechim sifatida bu koʻphadning x = xi+1 nuqtadagi yoki geometrik atamada - bu xi+1 tugundan oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziqning shu parabola bilan kesishish nuqtasining ordinatasi qabul qilinadi.
Bu m-tartibli aniqlikka ega usulga oʻxshash usulning hisob formulasi differensial tenglamaning oʻng tomonidagi f funksiyaning (m-1)- tartibgacha hosilalarini oʻz ichiga oladi. Bu hosilalarning xi nuqtadagi qiymatlarini hisoblash algoritmning (i+1)-qadamidagi assosiy hisoblashlarni tashkil qiladi. m-ning oshib borishi bilan bu hosilalarning soni tez oʻsib boradi, usul ham shuncha murakkablashadi, ammo yechimni Teylor qatoriga yoyish usuli bu maʼnoda xuddi shu tartibli Runge-Kutta usulidan ustun emas. Shuning uchun amaliyotda yechimni Teylor qatoriga yoyish usulidan nisbatan kam foydalaniladi.
Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida yi+1 yechimni topish uchun izlanayotgan yechimning [xi,xi+1] kesmadagi grafigi Eylerning oshkor usulidagi kabi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi boʻlagi bilan almashtiriladi. Ammo bu boʻlakning qiyaligini tanlash ancha mushkul, chunki Eylerning oshkor usuli yordamida (xi,yi) nuqtaga qoʻshimcha ravishda (xi+1,ȳi+1) nuqta ham quriladi va bu qiya chiziqning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchagi tangensi deb berilgan differensial tenglamaning shu nuqtalardan oʻtuvchi yechimlari grafiklariga oʻtkazilgan urinmalarning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchaklari tangenslarining oʻrta arifmetigi olinadi.
Yana bir bor taʼkidlaymizki, bu burchaklarning oʻzlari emas, balki ularning tangenslari oʻrtalashtiriladi.