Birinch tartibli oddiy differensial tenglamalarni taqriban yechimining giyometrik ifodasi

2-misol. Eyler modifikatsiyalangan usuli (55) ning geometrik maʼnosini tushuntiring.
Yechish. Shunday savol tugʻiladi: (54) va (55) usullarning Eylerning oshkor usulidan nima ustunligi bor? Bunga javob quyidagicha: Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari h0 da toʻr yechimning differensial masala yechimiga tezroq yaqinlashishini taʼminlaydi. Bu usullar shunday xossaga ega boʻlishining sababi bu Eylerning oshkor usuliga nisbatan ularning lokal xatoligi algoritm qadamlarida h qadam boʻyicha yuqori tartibli kichiklikka egaligida.
Bundan kelib chiqadiki, bu dalil faqat yetarlicha silliq yechimlar uchungina oʻrinli. Shuning uchun biz bundan keyin differensial tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiyaga qoʻshimcha shartlar qoʻyamiz, bunda faraz qilamizki, nafaqat f funksiya, balki uning birinchi tartibli hosilalari fx , fy , hamda uning ikkinchi tartibli hosilalari fxx , fxy , fyy  ham x, y oʻgaruvchilarga nisbatan uzluksiz va chegaralangan boʻlsin; bu hosilalarning chegaralanganlik shartini bajaruvchi oʻzgaruvchilarni mos ravishda M4, M5, M6 deb belgilaylik.
Agar M1, M2, M3 oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr yechimni talab qilingan *  aniqlik bilan olish uchun ushbu
Ch  .
yoki xuddi shu kabi
CL/N  .
tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi kesmalarni boʻlishlar soni N da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim xatoligining absolyut miqdori *  aniqlikdan oshib ketmaydi, bu (53) munosabatdan ham kelib chiqadi.
Agar koʻrsatilgan oʻzgarmaslar nomaʼlum boʻlsa (bu hol amaliyotda tez-tez uchraydi), u holda talab qilingan N qiymatni izlash uchun Runge qoidasi deb ataluvchi maxsus qoidadan foydalaniladi; bu qoidaga koʻra kesmani boʻlishlar soni har safar ikkilantirib boriladi va har safar berilgan aniqlikni taʼminlovchi N qiymatni topish uchun olingan toʻr yechimlar taqqoslanib boriladi.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qaralayotgan qadami [xi, xi+1] kesmada izlanayotgan y yechim grafigining boʻlagini y (i) yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiriladi:
1) izlanayotgan y yechim grafigi y (i) yordamchi yechim grafigi bilan almashtiriladi, natijada izlanayotgan y(xi+1) yechim oʻzining ( )1 ( ) i i y x yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi;
2) y (i) yordamchi yechim grafigi unga oʻtkazilgan urinma – sodda toʻgʻri chiziq bilan almashtiriladi, natijada ( )1 ( ) i i y x yaqinlashish qoʻshimcha (34) xatolik bilan yi+1 yaqinlashishga almashtiriladi.
Yordamchi yechimni uning grafigiga oʻtkazilgan urinmasi orasidagi xatolikni ifodalovchi (34) qoʻshiluvchi algoritmning (i+1)-chi qadamidagi qoʻshimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u (i+1)-chi qadamidagi yoʻl qoʻyilgan lokal xatolik, boshqacha aytganda, (i+1)-chi qadamning lokal xatoligi deb ataladi.
(33) qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u oldingi xi tugundagi yi - toʻr yechim y(xi) - aniq yechimdan farq qilishidan kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda y (i) – yordamchi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan y yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati nolga aylanardi). Shunga koʻra yi va y(xi) miqdorlar orasidagi farq algoritmning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi, shuning uchun (33) xatolik (i+1)-chi qadamning jamlangan xatoligi deb ataladi
Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkormas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilingan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadamlari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» differensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kattaroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam boʻladi.

Glossariy