Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish. Reja

2. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning hossalari
1º. Agar  funksiya AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
2º. Agar  va  funksiyalarning har biri AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiyalar ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,

tengliklar o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib,  funksiya AC va CB yoylarning har birirda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda u AB yoy bo‘yicha ham integrallanuvchi bo‘lib,

tenglik o‘rinli.

Ikkinchi tur egri chiziqli integral
1. Tekis kuch maydonining bajargan ishi. Oxy tekislikda moddiy figurani ifodalovchi yopiq D soha berilgan bo‘lsin va har bir  nuqtadagi massaga ta’sir qiluvchi  kuch berilgan bo‘lsin. Bu holda D sohada  kuch maydoni berilgan deyiladi.
Aytaylik, kuch maydoni ta’sirida moddiy nuqta D sohada joylashgan to‘g‘rilanuvchi BC chiziq bo‘ylab harakat qilsin. Moddiy nuqtani kuch maydoni ta’sirida B nuqtadan C nuqtaga o‘tguncha bajargan A ishini topish talab qilingan bo‘lsin 

Masalani hal qilish uchun BC yoyni  nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz. Bir xillik bo‘lishi uchun  deb belgilaylik.  nuqtaning koordinatalarini  orqali belgilab,  va nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘yicha tutashtirib, BC chiziqqa ichki chizilgan siniq chiziqni hosil qilamiz.  yoyda ixtiyoriy  nuqta olib kuchning bu nuqtadagi qiymatini  orqali belgilaymiz.

to‘g‘ri chiziq kesmasida ta’sir etuvchi  kuch o‘zgarmas va u  deb olsak, u holda kuchning  to‘g‘ri chiziqli qismda bajargan ishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

bu yerda  vektorning uzunligi,  vektorning uzunligi,  esa  va  vektorlar orasidagi burchak.

kuchning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda  va  orqali belgilasak, u holda  va  tengliklarga ega bo‘lamiz, bu yerda  va  lar birlik vektorlar.
va  lar  vektorning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari bo‘lgani uchun, quyidagi tenglikni yozib olamiz: 
(1) tenglikning o‘ng tomoni  va  vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bo‘lgani uchun  tenglikni hosil qilamiz.
Yuqoridagi farazimiz bo‘yicha moddiy nuqta  kuch ta’sirida  siniq chiziq bo‘ylab, B nuqtadan C nuqtaga o‘tganda bajargan ishi quyidagicha topiladi:


bo‘lakchalar qancha kichik bo‘lsa,  ning qiymati kuch maydonining bajargan ishi A ga yetarlicha yaqin bo‘ladi.  bo‘lakchalarning uzunliklarining eng kattasi  deb olaylik.
Agar (2) yig‘indi  da limitga ega bo‘lib, bu limit BC yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit kuch maydonining BC yoy bo‘ylab, B dan C ga o‘tganda bajargan ishi deb olinadi, ya’ni

Agar  yoki  bo‘lsa, u holda (2) formula o‘rniga mos ravishda quyidagi yug‘indilarga ega bo‘lamiz:

Ko‘pgina nazariy va tatbiqiy masalalarni yechish (2) va (3) yig‘indilarni limitlarini topishga keltiriladi. Shuning uchun bunday yig‘indilarning limitlarini topishni o‘rganish katta ahamiyatga ega.
Ikkinchi tur (koordinatalar bo‘yicha) egri chiziqli integral tushunchasi. To‘g‘rilanuvchi AB yoy va unda aniqlangan  funksiya berilgan bo‘lsin. AB yoyni  nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz.

Bo‘lishni A nuqtadan B nuqtaga qarab olib boramiz va  deb olamiz.  nuqtaning koordinatalarini  orqali belgilab, har bir yoydan ixtiyoriy ravishda bittadan  nuqtalar tanlab olib, quyidagi yig‘indini tuzamiz:

Bu yig‘indi  funksiya uchun AB yoyda x koordinatasi bo‘yicha tuzilgan integral yig‘indi deyiladi. Bu yig‘indining qiymati AB yoyni bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.  bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasini  deb olib, uni nolga intiltiramiz, ravshanki unda bo‘lakchalar soni n cheksiz kattalashadi.

Ta’rif. Agar  da (4) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit  funksiyaning AB yoy bo‘ylab, x koordinata bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.
Bu holda  funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi deyiladi
Egri chiziqli integral  kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha

Ikkinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari

1º. Agar  funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya ham AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib 


tenglik o‘rinli.
2º. Agar  va  funksiyalar AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiyalar ham shu yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib,

tenglik o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib,  funksiya AC va CB yoylarning har biri bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya AB yoy bo‘ylab
integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.

4º. Agar  egri chiziqli integral mavjud bo‘lsa, u holda  egri chiziqli integral ham mavjud bo‘lib  tenglik o‘rinli.

Haqiqatdan, B nuqtani AB yoyning boshlang‘ich nuqtasi A ni esa oxirgi nuqtasi deb hisoblasak, u holda  bo‘linish nuqta  nuqtadan oldin keladi va integral yig‘indidagi  son  songa almashib,  integral yig‘indi 

yig‘indiga almashadi.

Bundan tenglikni hosil qilib, limitga o‘tsak

ya’ni,  tenglikni hosil qilamiz.

Xulosa: Men bu mustaqil ishda birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblashni o’rgandim. Egri chiziqli integrallarni grafiklarda joylashishini o’rgandim. O’rgangn bilimim kelajakda as qotadi deb o’ylayman.


Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Sh. R. Xurramov. Oliy matematika. Misol va masalalar, nazorat topshiriqlari.
   

2.Oliy matematika (H.Latipov, R.Abzalimov, I.Urazbayeva)

3. Oliy matematika–Abdikarimov R. Karimov M