Birlashmalarning tadbiqi

Shunday qilib

ta xar xil so`z tuzish mumkin (lekin xammasi manoga ega emas). Bu yuqoridagi masala yechimidir.
Endi quyidagi bir masalani ko`rib o`taylik.
2-masala. Dыkonda 3-xil nomalum konfet mavjud. Konfetlar 3-xil ko`rinishda qo`tilarga jixozlab joylashtirilgan bo`lib xar bir nomlanishning o`z qo`tisi bor. 5 ta qo`tidan saylab tayorlash buyurtmasini necha xil usul bilan bajarish mumkin?
Yechish: Bu yerda 5 ta elementdan tuzilgan va bir-biridan farq qiluvchi (kamida bitta element bilan) tanlanmalarni tuzish zarur.
Har bir buyurtmani 0 va 1 bilan belgilaymiz(shifrlaymiz). Avvalo birinchi xil konfetdan nechta qo`ti buyurtma bo`lsa, shuncha 1 yozamiz. Sыngra 0 yozamiz. Keyin ikkinchi xil nomlangan konfetdan nechta qo`ti buyurtma bo`lsa, shuncha 1 yozamiz. Sыngra yana 0 yozamiz. Yana uchinchi xil nomlangan konfetdan qancha buyurtma berilgan bo`lsa shuncha 1 yozamiz. Agar ikkinchi yoki uchinchi xil nomlangan konfetdan buyurtma berilmagan bo`lsa, u xolda bu fakt ikkita 0 bilan belgilanadi. Agar birinchi yoki ikkinchi xil konfetdan buyurtma berilmagan bo`lsa, u xolda bitta 0 yozamiz.
Masalan, buyurtma «birinchi xil konfetdan 2 qo`ti, ikkinchi xildan 1 qo`ti, uchinchi xildan 2 qo`ti» dan iborat bo`lsa, u xolda uni
1 1 0 1 0 1 1
ko`rinishda belgilaymiz (shifrlaymiz).
Agar buyurtma «birinchi xil konfetdan 2 qo`ti va uchinchi xildan 3 qo`ti»dan iborat bo`lsa, uni
1 1 0 0 1 1 1
deb, agar buyurtma «ikkinchi xil konfetdan 4 qo`ti va uchinchi xil konfetdan 1 qo`ti» dan iborat bo`lsa, uni
0 1 1 1 1 0 1
deb belgilaymiz (shifrlaymiz).
Endi har bir shirflangan buyurtma 5 ta 1 va 2 ta 0 larning kombinatsiyasi yoki gruppasi (gurux) dan iborat. Bu takroriy o`rinalmashtirishdan iborat bo`lib bunda 1 son 5 marta 0 esa 2 marta takrorlangan. Bunga (T.1) formulani tadbiklab konfet qo`tilarni mumkin bo`lgan saylashlar sonini

deb aniqlaymiz.
Shunday kilib 2- masala yechimi 21 ta usuldan iborat.
Yuqorida (2-masala) masaladagi tanlanma bir to`plam elementlaridan tuzilgan bo`lib xajm jixatdan fark qilmasdan bir-biridan tarkibi bilan fark qiladi (kamida bita element bilan).
Bunday tanlanmalar takroriy gruppalashlar (guruxlashlar) yoki takroriy kombinatsiyalar deyiladi. Endi takroriy guruxlashlar soni xisoblashni ko`rib o`tamiz. Agar tanlanma hajmi k ga teng bo`lib ular n ta elementni o`z ichiga olgan to`plamdan tuzilgan bo`lsa, u xolda bunday tanlanmalar sonini dab belgilaymiz.
Yuqoridagi masala muxokamasiga asosan va (T.1) formulaga asosan
(T.2)
formulasini hosil qilamiz.
Bu (T.2) formulani
(T.3)
ko`rinishda xam yozish mumkin.
Haqiqatan

ya’ni (T.3) o`rinli.
Endi quyidagi masalani yechamiz.
3-masala. Agar bitta raqam bir necha marta takrorlanishi mumkin bo`lsa 1,2,3,4,5 rakamlardan nechta uch xonali sonlar tuzish mumkin?
Yechish. Agar raqamlar takrorlanmasa u xolda masala yechimi bizga malum u dan iborat bo`ladi. Lekin bu yerda elementlar takrorlanishi mumkin. Demak bunday xolatda takroriy o`rinlashtirish bo`ladi.
Uch xonali sonning birinchi raqamini besh usul bilan tanlashimiz mumkin, ya’ni 1,2,3,4,5 lardan birini. Ikkinchi rakamni ham besh usul bilan tanlash mumkin. U xolda (1) formula bo`yicha ikki rakamli sonlarni 55=5²=25 usul bilan tanlash mumkin. Uchinchi raqamni ham besh usul bilan tanlash mumkin va shuning uchun uch xonali son 555=5³=125 usul bilan tanlash mumkin.
Demak masala yechimi 125 ta 3 xonali son bo`lishi mumkin.
Xuddi shunday muxokama yuritib takroriy o`rinlashtirishlar sonini umumiy holda aniqlaymiz.
Faraz qilaylik n elementdan iborat to`plamdan k-tadan takroriy o`rinlashtirishlar tuzish zarur bo’lsin, ya’ni bita o`rinlashtirishda biror element 1,2,3,…,k marta takrorlanishi mumkin. Bunday o`rinlashtirishlar nechta bo`ladi?
Biror o`rinlashtirishda birinchi elementni n usul bilan tanlash mumkin. U xolda (1) formula bo`yicha juft-juft elementlarni nn=n<sup>2</sup> usulda tuzish mumkin.
Uchinchi elementni xam n usul bilan tanlash mumkin, to`rtinchi elementdan o`rinlashtirishlarni