Bob. Kompyuter grafikasining geometrik primitivlari

3.1-rasindagi kabi poligonlar ularning majmuasidan qurilishi shart. Shunga qaramasdan ko`pgina rendererlar tort va undan ko`p tomonli poligonlarni qo'llab quvvatlaydi, yoki triangulyatsiyalangan
shalddagi to`rlarni sacilash majburiyatisiz poligonlarni
uchburchaklarda triangulyatsiyalashni amalga oshira oladi.
• •


• •
•
uchlar qirralar yoqlar poligonlar sirtlar


3.1-rasm. Poligonal to`rlar.

36
•
sodda bajariladi — buning uchun mos voksellarni yorqinlashtirish (npo3patunati) mumkin.
Voksel modelining kamchiligi:
hajmiy ma'lumotlarini tasvirlash uchun zaruriy axborotlar miqdorining kattaligi. Misol uchun, 256x256x256 uchun katta bolmagan razreshayuiuuyu sposobnost, lekin 16 milliondan ortiqroq voksel talab qilinadi;
✓ katta xotira sarfi taralish imkoniyati va modellashtirish imkoniyati chegaralaydi; voksellar miqdorning ko`pligi hajmiy ssenada tasvir yaratish tezligini kamaytiradi;
✓ har qanday rastirda bolgan kabi, tasvirni kattalashtirganda yoki
kichiktirganda muammo paydo Misol uchun, kattalash-
tirganda tasvirning taralish imkonyati pasayadi.
Tekis to `r
Bu model sirtning alohida nuqtalari koordinatalarni quydagi usulda ifodalaydi (4.3-rasm). To`rning (i,j) indeksli har bir tuguniga
balandiklaming zij qiymati yozib chiqiladi. (i,j) indeksga
koordinataning (x,y) ma'lum qiymati mos keladi. Tugunlar

orasidagi masofa x o`qi bo`yicha dx va y bo ladi.


dx
X j.i X j
bo`yicha dy bir xil
X j+1

0

-1,j-1 L i-1, j z


1, j+1

Z j+1
I


Z j+1, j+1
Y + 1


I I


4.3-rasm. Tekis olchamli to`r tugunlari.


72

•


•


■


•


•
•
•

4.5-rasm. Notekis to`r triangulyatsiyasi.


Sirtni uchburchaldi yoqlar bilan ifodalashni vektorli poligonal modelining ko`rinishlaridan biri deb hisoblash mumkin. Ingliz tilidagi adabiyotlarda uning uchun quyidagi nomlanish uchraydi: TIN (Triangulated Irregular Network). Triangulyatsiyadan song aks ettirish ancha sodda bolgan poligonal sirtni hosil qilamiz.
Sirtlarni ifodalashning yana bir varianti — balandliklar
izoliniyasini kocraylik. Har qanday izoliniya biror bir
kocrsatkichning bitta son qiymatini kocrsatuvchi nuqtalaridan tashkil topadi va berilgan hol uchun balandlik qiymati qaraladi. Balandlik izoliniyalarini sirtni gorizantal tekislik bilan kesishdan hosil bolgan kontur sifatida tasavvur qilishimiz mumkin (shuning uchun balandlik izoliniyasida "gorizontal" atamasi tez-tez ishlatiladi).
Sirtlarni balandlik izoliniyasi bilan tasvirlash kartografiyada ko`p ishlatiladi. Qog`ozdagi xaritadan joylarining nuqtalarida balandliklarni, relfning og`ish burchaklari va boshqa parametrlarni hisoblash mumkin bocladi. Ta'kidlash lozimki, yer sirti relefining gorizontal tekisliklar kesimi sifatida balandlik izoliniyalari bilan tasvirlash noto`g`ri tasavvurini beradi, chunki yer sirti tekis emas. Agarda yer shar shaklida bolganda edi, balandlik izoliniyalarini radiuslar izoliniyasi sifatida talqin qilish mumkin bolar edi. Yer esa shar emas, u geoid deb ataluvchi murakkab shaldga ega. Geodeziya va kartografiyada geoid ma'lum aniqlikda har xil ellipsoidlarda approksimatsiya qilinadi. Shunday qilib, bu yerda, maxsus kordinatalar tizimida ayrim shartli balandliklar izoliniyalari haqida so`z yuritish mumkin
Darhaqiqat, sirtlarni tasvirlash uchun nafaqat balandlik izoli-niyalaridan, balki boshqa izoliniyalar, misol uchun, x- yoki u-izoliniyalardan foydalanish mumkin. Kompyuter tizimlarida izoliniyalar kola hollarda vektor kocrinishda — poliliniyalarda


76

AmaIda, bu model elementlarida balandlik qiymatlari saglanadigan ikki olchovli massiv, rastr, matritsa. Har qanday sirt ham bu modelda ifodalanavermaydi. Agarda har bir tugunda balandlikning faqat bitta qiymati yoziladigan bolsa, u holda sirt z = f(x,y) bir qiymatli funksiya bilan ifodalanadi. Boshqacha aytganda, bu shunday sirtqi oxu tekiligidan o`tkazilgan har qanday vertikal chiziq sirtni fakt bir marotaba kesib o`tadi. Vertikal yoqlarni ham modellashtirib bolmaydi. Ta'kidlash lozimki, to`r uchun faqat dekart koordinatalaridan foydalanish shut emas. Misol uchun, shar
sirtini bir qiymatli funksiyada ifodalanish uchun polyar
koordinatalardan foydalanish mumkin. Teng olchovli yer sirti
relefini ifodalash uchun keng ishlatiladi.
To`rning chegarasi ichidan olingan ixtiyoriy nuqta uchun balandlik qiymatini qanday hisoblashni ko`raylik. LTning koor-
dinatalari (x,y) z ning mos qiymatini topish kerak. Bunday
masalani echish z koordinata qiymatlarini yaqin tugunlarda inter-polyasiyalash hisoblanadi (4.4-rasm).


Yi+1


4.4-rasm. (x,y,z) koordinatalar tocrida nuqta. Avval bitta tugunning i vaj indekslarini hisoblash zarur. =I x^-x.
dx ['


73


Bu modelni yuqorida ko`rilgan ayrim modellar uchun umumlashgan model deb hisoblash mumkin. Misol uchun, vektorli poligonal model va tekis to`rni notekis to`rning ko`rinishlaridan biri deb hisoblash mumkin. Bu har xil ko`rinishlar kompyuter grafikasi masalalarini yechishda muhim ahamiyatiga egaligi sababli ularni
alohida kocrib o`tish maqsadga muvofiq Umuman olganda,
sirtlarni ifodalash usullarini sinflashtirishning ko`pgina variantlari
mavjud. S irt modellari ro`yxatini qilganimizda ma'lum
shartlashuvni hisobiga olish lozim, modellar ro`yxati ketma-ketligi
boshqacharoq mumkin. Mantiqiy o`zaro hech qanday
bog`liqlikka ega bo'lmagan nuqtaviy qiymatlar to`plami kocrinishidagi sift modelini kocramiz. Tayanch nuqtalarning notekis berilishi tayanch nuqtalar bilan ustma-ust tushmaydigan sirtning boshqa nuqtalari uchun koordinatalarni aniqlashni qiyinlashtiradi. Bunda fazoviy interpolyatsiyaning maxsus usullari kerak Misol uchun, quydagi masalani ko`yish mumkin — berilgan koordinatalar (x,y) bo`yicha z koordinataning qiymatini hisoblash masalasi. Buning uchun bir nechta juda yaqin nuqtalarni topish
zarur, keyin (x,y) proeksiyada bu nuqtalarning o`zaro
joylashishidan kelib chiqib, z ning izlanayotgan qiymati hisoblanadi. Yugorida ko`rganimiz kabi tekis to `r uchun bu ancha sodda -qidiruv deyarli bolmaydi, biz birdaniga juda yaqin tayanch nuqtalari indekslarini hisoblaymiz.
Yana bir masala — sirtni aks ettirish masalasi. Bu masalani bir nechta usul bilan yechish mumkin, shu jumladan triangulyatsiya usuli bilan. Triangulyatsiya jarayonini quyidagicha tushinish mumkin (4.5-rasm). Avvalombor birinchi bir-biriga juda yaqin uchta nuqtani topamiz va bitta tekis uchburchak yoq hosil qilamiz. Keyin bu yoqqa yaqin nuqta topamiz va unga qo'shni yoq hosil qilamiz. Shu tarzda jarayonni birorta ham alohida nuqta qolmagunicha davom etamiz. Bu umumiy sxemadan tashqari, adabiyotlarda triangulyatsiyaning ko`pgina turli usullari keltirilgan. Ko`p hollarda Delonening triangulyatsiyasiga murojat qilinadi.


75
••••
Y Yo

=1
dy

Bu erda, ]a[ — a ning butun qismi, ya'ni a dan oshmaydigan eng katta butun son.
Keyingi qadamda chiziqli interpolyasiyadan foydalanamiz. Burring uchun, avval A va B nuqtalarda z ning qiymatini topamiz.

2-kJ
Z =
x-xi
xi+i-xi
proporsiyadan xi+i — xi = dx ligini hisobga

olib, zA= zii+(x-xj)(zi,j+i-ziti)/dx ni topamiz.
Shunga o`xshash zB ni topamiz zB= zi,i,j+(x-xj)(zi+i,j+1 zi+i,j)/dx.
Shundan song AB kemani y qiymatiga proposional bolib z ning qiymatini topamiz.

z zA Y Yi
_zA dy
ni hosil qilamiz.


dan z = zA + (y —Yi)(zv— ^zA)Idy

Tekis to 'ming ijobiy tomonlari:
sirtlarni tasvirlashning soddaligi;
sodda interpolyatsiyalash on:pH sirt ixtiyoriy nuqtasining balandligini tez bilib olish imkoniyati.
Tekis to 'ming kamchiliklari.
bir qiymatli bolmagan funksiyalarga mos keluvchi sirt-lardagi to'rlaming tugunlari balandliklarini modellashtirib bo'l-masligi;
murrakab sirtlami ifodalash uchun ko`p miqdordagi
tugunlar zarur bu esa kompyuter xotirasi hajmi
chegaralanganligi sababli noqulaylikni yuzaga keltiradi;
ayrim turdagi sirtlarni tasvirlash boshqa modellarga
nisbatan murakkabroq Misol uchun, ko`pyoqli sirtlarni
tasvirlashda poligonal modelga qaraganda ko`plab ortiqcha qo'shimcha ma'lumotlar talab qilinadi.