Bog`lik to`plamlar va ularga misollar. Xausdorf topologik fazolar va ularning xossalari

Ajraluvchanlik.

Ta‘rif. Agar topologik fazoning ixtiyoriy ikki nuqtaning o`zaro kesishmaydigan atroflari mavjud bo`lsa, u xolda bu topologik fazoni ajraluvchi yoki xausdorf topologik fazo deyiladi.

Ta‘rifga asosan agar X xausdorf topologik fazo bo`lsa, u xolda ixtiyoriy ikkita turli a va b nuqtalari uchun shunday ikkita U va v to`plamlar topiladiki, aU, bv bo`lib, Uv= bo`ladi.

Shuning uchun xam xausdorf aksiomasini ajraluvchanlik aksiomasi deb yuritiladi.

Ajraluvchan topologik fazoga misollar keltiraмиз.

1) Bittadan ortiq elementga ega bo`lgan antidiskret fazo ajraluvchan emas.

2) Diskret fazo ajraluvchandir.

3) Xar qanday E metrik fazo ajraluvchandir.

Agar a va b lar uchun Е metrik fazoning ixtiyoriy ikkita nuqtalari bo`lsa, ularning ajratuvchi atroflari sifatida dist(a,b) radiusli sharsimon atroFini olishimiz mumkin. Topologik fazoning Xausdorf aksiomasidan quyidagi eng sodda natijalar kelib chiqadi:

1. XausFord topologik fazoda xar qanday bir nuqtali to`plam ostilar yopiqdir.

2. XausFord topologik fazoda chekli to`plamlar yopiqdir.

3. X XausFord topologik fazoning A to`plam ostisi xam XausForddir.

ISBOT. Birinchi va ikkinchi xossalarning isboti bo`lgani uchun uchinchi xossaning isbotini ko`ramiz.

Agar a va b lar A to`plamning nuqtalari bo`lsa, U va v lar esa Х fazodagi ikkita kesishmaydigan atroflari mavjud bo`lsa, u xolda UA va vA to`plamlar xam shu nuqtalarning kesishmaydigan atroflari bo`ladi. Bu esa XausFordlik shartini qanoatlantiradi va xossaning isboti kelib chiqadi.

Kompaktlik.

Ta‘rif. Agar X to`plam, to`plam ostilarining to`plami Х<sub></sub> (=1,2,...,n) quyidagi UX<sub></sub>=X shartni qanoatlantirsa, u xolda Х<sub></sub> ni Х to`plaming qoplamasi deyiladi.

Agar Х_ to`plam ostilarning xar biri ochiq bo`lsa, u xolda Х topologik fazoning qoplamasi ochik deyiladi. (Х_) qoplamaning qoplama ostisi shunday to`plam ostilaridan iboratki, ularning o`zlari qoplamalardan iboratdir.

Ta‘rif. Agar (Х,) fazo quyidagi Borelp-Lebeg aksiomasini qanoatlantirsa, yani

Xar bir ochiq qoplama chekli sondagi qoplama ostidan iborat, yani agar X=UX_ bo`lsa, bu yerda Х_, , u xolda shunday chekli sondagi ₁,₂,...,_n indekslar mavjudki, ular uchun X=X_UX_U...UX_ bajarilsa, (Х,) fazoni kompakt fazo deyiladi.

Agar АХ bo`lib, (Х,) fazo kompakt bo`lsa, A to`plam kompakt to`plam bo`ladi.

Ta‘rif. Agar (Х,) topologik fazoning A va V to`plam ostilari В= ва А= shartlarni qanoatlantirsa ularni ajratilgan to`plam ostilar deyiladi.

Ta‘rif. Topologik fazodagi istalgan bog`liq ochiq to`plam soxa deyiladi.

Kompakt fazoga misollar.

1. 
   Xar qanday antidiskret fazo kompaktdir.
   
2. 
   Xar qanday chekli topologik fazo kompaktdir.
   
3. 
   Chekli sondagi ochiq to`plamlarga ega bo`lgan xar qanday kompaktdir.
   
4. 
   Cheksiz nuqtaga ega bo`lgan diskret fazo kompaktdir.
   
5. 
   R sonlar to`g`ri chizig`i kompakt emas.