Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

tion in learning and teaching algebra. IDM Occasional Paper 117. Bielefeld: Universität
Bielefeld.
Talysina, N. F. (1969). Teoreticeskie problemy programmirovannogo obucenija
[Theoretical problems of programmed teaching], Moskva: Izd. Moskovskogo univer-
siteta.
Talysina, N. F. (1975). Upravlenie processom usvoenija znanij [Guiding the process of
knowledge acquisition]. Moskva: Izd. Moskovskogo universiteta.
Talysina, N. F. (1988). Formirovanie poznavatelnoj dejatelnosti mladsich skolnikov
[Training the cognitive ability of younger students], Moskva: Prosvescenie.
Van Oers, B. (1990). The development of mathematical thinking in school: A comparison
of the action-psychological and information-processing approaches. International
Journal of Educational Research, 14(1), 51-66.
Vygotsky, L. S. (1964). Denken und Sprechen. Berlin: Akademie-Verlag.
Vygotsky, L. (1985/1987). Ausgewählte Schriften (Vols. 1-2). Berlin: Volk und Wissen.
Wertsch, J. V. (Ed.). (1985). Vygotsky and the social formation of mind. Cambridge, MA:
Harvard University Press.
Wertsch, J. V. (Ed.). (1985). Culture, communication and cognition: Vygotskyan perspec-
tives. Cambridge: Cambridge University Press.
Zaporozec, A. V. (1990). Entstehung und Aufbau der Motorik. Eine tätigkeitspsychologis-
che Studie. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften.
276

---

ACTION-THEORETIC AND PHENOMENOLOGICAL
APPROACHES TO RESEARCH IN MATHEMATICS
EDUCATION: STUDIES OF CONTINUALLY
DEVELOPING EXPERTS
Richard Lesh and Anthony E. Kelly
Princeton / New Brunswick
1. ASSUMPTIONS ABOUT STUDENTS' THINKING
We begin with the assumption that students actively construct meaning.
They are not tabula rasa upon which teachers "write" knowledge. Each stu-
dent makes sense of the world in terms of the understandings of the world
that he or she brings to it. These understandings or models of the world are
constantly being revised, and are never in a final state. Thus, we are in gen-
eral accord with the precepts of what has become known as constructivism.
2. MODELS
We do, however, pay particular attention to models. By a model we mean a
structural metaphor or a pattern that provides thinkers with the ability to
describe, predict, and control the behavior of complex systems. A model
allows them to make informed decisions on the basis of a subset of the total
available cues. It allows them to "filter" information intelligently, to suggest
information that may fill in "holes" in their understanding of a task, and to
recognize superfluous information. Models may contain, but are not limited
to, facts and procedural rules. Rather, they serve to organize facts and rules
into systems for understanding and for action. Models tend to be multidi-
mensional and unstable. Consequently, they are often revised or restructured
depending on the conditions and purposes that exist in a given situation.
2.1 The Characteristics of Models and How They Develop
When we study children and teachers, we find that both groups propose
models that are tested, rejected, revised, or revisited, all without any clear
notion of exactly what an expert response might look like for a given
problem. How is it that people perceive the need to develop beyond the
constraints of their own current conceptualizations of their experiences?
How is it that they so often develop in directions that are generally better
R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträßer, B. Winkelmann (Eds.),
Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, 277-286.
© 1994 Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

---

without a preconceived notion of best? How do models evolve? We will
illustrate this process with three examples: (a) a study of teachers tutoring
students; (b) a study of teachers designing authentic assessment tasks; and
(c) a study of teachers designing scoring rubrics for authentic assessment
tasks.
2.2 Evolution
The models that underlie the interpretation phases of mathematical problem-
solving evolve in a manner similar to how other types of organisms or sys-
tems evolve. We invite the reader to indulge our use of this analogy, be-
cause we feel that the perspective that it provides is more important than
whether the correspondence is tight and "correct" at every single juncture.
The processes that students and teachers engage in can be described as in-
volving generation and mutation, selection, adaptation, reorganization, dif-
ferentiation, and accumulation.
2.3 Generation and Mutation
In the tutoring study (Lesh & Kelly, 1991), for example, students proposed
a variety of different ways to think about a problem. In the early stages, they
suggested several models based on additive relationships, subtractive rela-
tionships, fractions, or proportions. These models were expressed in a vari-
ety of different ways: as numbers, as verbal arguments, as graphs, as
sketches, and so forth. As the students explored a relationship through a
given representation, they oftentimes pursued features of the representation
that, in turn, suggested the pursuit of an alternative relationship. In this way,
the models were dynamic, unstable, and subject to mutation.
In the same study, teachers began by suggesting several ways to improve
tutoring for a given problem: revising the problem statement, focusing on
the required procedural skills, focusing on the mathematical structure, fo-
cusing on the student's affective response, or focusing on the student's
mathematical response. Each of these generations is, of course, intimately
connected to the others. As teachers explored one of them, their thinking
often mutated in ways parallel to the students'. For example, revisions of the
problem statement often led to discussions about skills and their importance;
the idea of importance would sometimes lead to questions of how students
responded to the problems affectively; and so on.
In the problem-design study (Lesh, Hoover, & Kelly, 1993), teachers be-
gan by collecting a wide variety of stimuli for context-setting for mathemat-
ical problems: state lotteries, stock reports, housing costs, political cartoons,
recipes, even bungee-jumping. They also attempted to design into the tasks
a wide number of implicit demands on students to generate models for
addition, subtraction, fractions, graphing, or logical argument. Mutation was
seen for these suggestions, for example, in scenarios about stock reports,
which raised questions about students' prior knowledge; or problems
278
ACTION THEORY AND PHENOMENOLOGY

---

involving graphs were queried as to which procedures were being assessed
and their importance.
In the assessment-design study, teachers were able to suggest a variety of
ways of evaluating a student's solution: length of answer, "density" of an-
swer, presence or absence of numbers, accuracy of calculations, structure of
the argument, or its effectiveness as a communication. Discussions of each
of these generations again would lead to a proliferation of variants on
themes: How important was length of answer if the calculations were inac-
curate? How important was the accuracy of a calculation if it did not have
supporting representations (e.g., graphs) that made its reasoning clearer?
The models in each of the above situations were presented as tentative,
unstable, temporary, and "fuzzy." The expectation was that some might
flourish and others perish. The driving force for mutation appears to be an
attempt to address at each modeling cycle what are seen as the complexities
of the task demand. As the solution models become more mature, complexi-
ties, which are first seen as independent and disjointed, are later subsumed
into or seen as irrelevant to the solution of the problem.
2.4 Selection
Not all models survive all task/student/environmental demands. Several
mechanisms appeared to be involved in selection: (a) trial by consistency –
that is, teachers and students asked themselves whether each new idea
"made sense" based on their own current conceptions and experiences; (b)