Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

Law of Nature. And once that belief has been established, there is a powerful
resistance against any suggestion of change and – as Thomas Kuhn has so nicely
shown with examples form the history of science – there will be powerful efforts
to sweep any observed irregularity under the rug. (von Glasersfeld, 1987, p. 11)
What becomes obvious to anyone who has tried to understand why human
beings behave as they do is that the lenses through which people see their
world are intertwined with the context in which those lenses were created.
Bauersfeld commented on this "fundamental relativism."
Altogether, the subjective structures of knowledge, therefore, are subjective con-
structions functioning as viable models which have been formed through adapta-
tions to the resistance of "the world" and through negotiations in social interac-
tions. This triadic nature of human knowledge makes impossible an ascription of
causes, which would dissect internal from external causations (Seiler, 1984;
Seiler & Wannenmacher, 1983). The separation for analytical purposes may be
necessary, but is helpful only provided the researcher does not lose sight of the
fundamental inseparability. (Bauersfeld, 1988, p. 39)
While we are quick to use the word theory in discussing issues in
mathematics education, we would be wise to view theory as something
other than a monolithic concept rooted in a notion of objectivity defined by
a sense of reality. Snow (1983) maintains that theory has many forms,
ranging from a set of well-defined propositions as suggested by "traditional"
science, to conceptual analyses, even to the inclusion of metaphors that
reflect and influence our thinking. Given the nature of our field, it is
difficult to imagine that theory in mathematics education is likely to result
in a set of interdependent propositions. In fact, we might be wiser to
conceptualize theory development as an exercise in revealing the human
ingenuity, insight, and compassion of which Feyerabend (1988) speaks.
Consistent with the notion that theory in mathematics education is likely
to be eclectic is the notion that stories (e.g., anecdotes, case studies) play an
integral role in communicating what we learn from research. From this per-
spective of science, research is more akin to understanding the transforma-
tion of Van Gogh's beliefs and values as his paintings shifted from bright
THOMAS J. COONEY
105

---

sunflowers to tortured landscapes, to understanding Goethe's motivation and
needs as revealed in Eissler's insightful analysis of his psyche, to appreciat-
ing Janos Bolyai's mental state following his rebuff by Gauss and his ulti-
mate rejection of mathematics as a field of inquiry than it is to describe and
predict behavior through quantified generalizations. From such a perspec-
tive of science, the central issue of research on the teaching of mathematics
and on teacher education becomes one of describing how teachers ascribe
meaning to their lives in the classroom and how that meaning contributes to
the selection of some teaching behaviors and the rejection of others. This is
not to say that quantification does not play a role in coming to understand
how teachers construct meaning. Indeed, the most enlightening research of-
ten consists of thick descriptions punctuated by statistical data. Lortie's
(1975) classic study the School Teacher represents such a blending of quali-
tative and quantitative data that foreshadowed the blending of methodolo-
gies used in many of the case studies being conducted today. Nevertheless,
the issues raised here do encourage us to consider that the notion of being
scientific and developing theory may be much more problematic than it
might at first appear to be.
3. WHAT WE HAVE LEARNED ABOUT TEACHING
AND TEACHER EDUCATION
Teaching and teacher education are inherently practical matters, which is
not to say that both cannot be improved through the practice of science,
broadly interpreted. Consider, for example, a project conducted at the
University of Wisconsin, called Cognitively-Guided Instruction (CGI),
which has a teacher education component based on a research program that
focuses on students' higher-order thinking skills. This project has generated
an extensive body of research findings on young children's higher-order
thinking skills, which have, in turn, been used as a basis for conducting in-
service programs for 1st- and 2nd-grade teachers. Although the nature of the
teacher education experience is not entirely clear, teachers were better able
to adapt instruction to meet students' cognitive needs when given explicit
information about how children learn mathematics (Peterson, 1988).
With respect to research in teacher education per se, Weiss, Boyd, and
Hessling (1990) surveyed final reports from in-service projects to the
National Science Foundation and interviewed project directors and found
that in-service programs help teachers develop a richer knowledge base for
teaching, which, in turn, seemed to promote a more open-ended teaching
style. This was particularly true for teachers from largely minority or urban
schools. The mostly anecdotal evidence indicates that teachers who partici-
pated in in-service programs were less likely to see the textbook as the sole
determinant of the instructional program. Further, the teachers developed an
increased sense of professionalism and became influential partners for other
teachers in their schools and school districts. There is not much analysis of
106
SCIENCE AND TEACHER EDUCATION

---

why these changes occur except that they seem related to the teachers' per-
ceptions of themselves as professionals rather than any particular format for
the in-service programs.
One of the intriguing notions embedded in teacher education programs is
the relationship between teachers' knowledge of mathematics and their abil-
ity to teach mathematics. It is difficult to imagine a reasonable argument
that a sound knowledge of mathematics is not related to developing a qual-
ity instructional program, albeit the documentation of this relationship re-
mains elusive. (see Begle, 1968; Eisenberg, 1977). There is no shortage of
evidence (e.g., Fisher, 1988; Graeber, Tirosh, & Glover, 1986; Mayberry,
1983; Wheeler & Feghali, 1983) that many elementary teachers lack the
mathematical sophistication necessary to promote the kind of reform being
called for by the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM,
1989, 1991). While the documentation that elementary teachers lack an un-
derstanding of topics such as ratio and proportion, geometry, measurement,
and number relationships is not unusual, it begs the question of how this
lack of understanding influences instruction or inhibits reform. Although
there is little evidence about the relationship of elementary teachers' knowl-
edge of mathematics to the way mathematics is taught, such information
seems critical to considering the means by which the problem can be ad-
dressed in teacher education programs. There can be little doubt that teacher
education programs can increase a teachers' knowledge of mathematics.
But, if the means of achieving this goal is inconsistent with the instructional
process deemed necessary to impact on children, then what have we gained?
Too often the medium belies the message as we try to "give" teachers math-
ematics, failing to realize that the teacher receives two messages: knowl-
edge gained and the means by which it was gained. If teachers are asked to
learn mathematics through a process of transmission, then there is an in-
creased probability that they will come to believe that their students will
also learn through the transmission process – a position counter to meaning-
ful reform.
At the secondary level, there is virtually no research on the relationship
between a teachers' knowledge of mathematics, other than the coarse
method of defining one's knowledge of mathematics in terms of courses
taken, and the teaching of mathematics. Indeed, it is highly doubtful that
any meaningful statistical relationship will emerge between any reasonable
measure of teachers' knowledge and the nature of instruction. There is evi-
dence, however, that what a teacher thinks about mathematics is related to
the way mathematics is taught. Hersh put it the following way:
One's conception of what mathematics is affects one's conception of how it
should be presented. One's manner of presenting it is an indication of what one
believes to be most essential in it . . . . The issue, then, is not, What is the best
way to teach? but What is mathematics really all about? (Hersh, 1986, p. 13)
THOMAS J. COONEY
107

---

A series of studies conducted at the University of Georgia by Thompson
(1982), McGalliard (1983), Brown (1985), Kesler (1985), Henderson
(1988), and Jones (1990) reveals that many teachers communicate a limited
view of mathematics. Although it is not clear whether the teachers held a
limited view of mathematics or whether the ethos of the classroom encour-
aged the communication of a limited view, the question seems moot when
you consider the effect on students. Too, the issue is not just the mathemat-
ics that is taught, but the mathematics that is assessed. Cooney (1992) con-
ducted a survey of 201 middle school and secondary school mathematics
teachers' evaluation practices in which the teachers were asked to create an
item that assessed a minimal understanding of mathematics and an item that
assessed a deep and thorough understanding of mathematics. More than
one-half (57%) of the teachers created computational items in response to a
question about assessing a deep and thorough understanding of mathemat-
ics. The following items were typical of such responses:
1.
2. Solve for x: 6x-2(x + 3)= x - 10
3. How much carpet would it take to cover a floor that is 12.5 ft by 16.2
ft?
These teachers conflated the notion of difficulty with the notion of
assessing a deep and thorough understanding of mathematics. Teachers of
below-average students were particularly likely to give computational items
to assess what they considered a deep and thorough understanding of
mathematics. Again, we can only conjecture whether this circumstance
reflected the teachers' limited view of mathematics, or whether the
conditions in the classroom mandated the use of computational items given
the oft asked question by students, "Will this be on the next test?"
Studies by Helms (1989), Owens (1987), and Wilson (1991) suggest that
beliefs about mathematics and the teaching of mathematics are rooted in ex-
periences long before the teachers encounter formal training in mathematics
education. Further, these beliefs do not change dramatically without signifi-
cant intervention (Ball, 1988; Bush, 1983). Lappan et al. (1988) addressed
the issue of changing teachers' style of teaching through an extensive in-ser-
vice program. They found that a 2-week summer workshop was sufficient
for the teachers' to learn the information presented, but clearly insufficient
for them to transform that knowledge into viable teaching strategies. They
concluded that this complex issue of transformation requires a sustained in-
service program of at least 2 years duration in which teachers are provided
not only technical assistance in using the project's materials but also intel-
lectual and emotional support as well. When growth was exhibited, it
seemed to involve the increased confidence that the teachers gained in
dealing with more exploratory teaching situations.
Over a decade ago, Bauersfeld (1980) argued that teaching and teacher
education are inherently social matters and, consequently, that change in the
108
SCIENCE AND TEACHER EDUCATION

---

teaching of mathematics can only occur through the reflective act of con-
ceptualizing and reconceptualizing teaching. In short, our beliefs about
teaching are shaped by social situations and therefore can only be reshaped
by social situations. Attending to this circumstance in a teacher education
program involves far more than providing field experiences – the typical
solution. It involves analysis and reflection, a coming to realize that
learning – both the teachers' and the students' – is a function of context This
is not to say that the professional development of teachers is somehow
based on generic notions about teaching and learning. Indeed, our ability to
be reflective is necessarily rooted in what we understand about
mathematics, psychology, and pedagogy.
Wittmann (1992) has argued that the formalism of mathematics itself en-
courages a broadcast metaphor of teaching in which the primary task of the
teacher is to make the lectures clear and connected so that the student can
absorb an appreciation and understanding of mathematical structure. A few
years ago, I interviewed a mathematician who emphasized mathematical
structure in his classes and maintained that his lectures could help students
see mathematics come alive. Although he appreciated the formalistic nature
of mathematics, he failed to realize the incongruity that exists in trying to
make something come alive through a passive medium such as broadcasting
information. One could argue that the question of what constitutes mathe-
matics and where it resides (in the mind or on the paper) is largely philo-
sophical. I maintain that, in terms of the teaching of mathematics, the real
issue is what teachers believe about mathematics and how they envision
their role as teachers of mathematics. Indeed, the "philosophical" debate
plays itself out every day in classrooms around the world as teachers
struggle to help kids learn mathematics. This suggests that considerable
attention needs to be given to how beliefs are formed and how effective
interventions can be created to help break the cycle of teaching by telling.
Somehow, as a profession, we seemed to lose sight of the importance of
meaning that highlighted the work of such people as Brownell (1945) when
we accepted the premise that science, narrowly defined, could reveal effec-
tive ways of teaching mathematics. More recently, we are again emphasiz-
ing meaning in research, particularly that involving classroom situations
(see, e.g., Yackel, Cobb, Wood, Wheatley, & Merkel, 1990). Despite this
apparent maturity in our profession and the fact that we seem to be asking
questions that strike at the heart of what it means to teach and to learn math-
ematics, progress in teacher education is much less apparent. Nevertheless,
we have at least come to realize that teachers are not tabula rasa, that a
knowledge of mathematics alone is not sufficient to insure change in the
classroom, and that change evolves over time.
THOMAS J. COONEY
109

---

SCIENCE AND TEACHER EDUCATION
4. THE NOTION OF AUTHORITY
An issue of importance to almost all beginning teachers, especially at the
secondary level, and to many experienced teachers as well, is that of class-
room management. While the authority of a teacher is a legitimate concern,
there is, unfortunately, a certain conflation between interpreting teachers'
authority as the responsibility for the physical well-being of students and as
the legitimizing agent for the mathematics being taught. A teacher who en-
courages students to think creatively and who promotes a problem-oriented
approach to the teaching of mathematics will encounter, by definition, a
greater number of unpredictable moments in the classroom – thereby mak-
ing the use of open-ended teaching methods somewhat risky. The difficulty
is that when a teacher's authority is translated into defining the quality of
mathematical thinking, the students' goals become defined in terms of social
outcomes rather than cognitive ones (Bauersfeld, 1980; Cobb, 1986). In
many classrooms, the teacher plays a dual role for students: the authority
figure and the determiner of mathematical truth. This creates a certain blur-
ring between social goals and mathematical goals; the better student is per-
ceived as the one who produces answers the teacher desires.
Scholars such as Rokeach (1960) and Perry (1970) have addressed the
role of authority as one defines his or her relationship to the world.
Although differences exist, both take the position that when authority is de-
fined external to the individual, a dogmatic state exists. This state accentu-
ates the development of what Green (1971) calls nonevidentually held be-
liefs, that is, beliefs immune from rational criticism. The differences be-
tween nonevidentually and evidentually held beliefs and between dogma-
tism and rationality emphasize the distinction between indoctrination and
teaching. Fundamentally, the issue is one of how a person comes to know
something. In this sense, there is a certain inseparability between the math-
ematics that is taught and the means by which it is taught. This inseparabil-
ity is often lost in our zeal to "train" or to "give" teachers whatever we deem
their "deficiency" to be. It is a common trap for all teacher educators, as we
fail to see the symmetry between what and how we teach teachers and what
and how they teach their students.
In a recent methods course, we were doing an experiment in which we
collected data, analyzed the data, generated an appropriate function to
model the situation, and subsequently discussed the implication of this ac-
tivity for teaching. At one point, a very enthusiastic preservice teacher pro-
claimed with both confidence and a sense of satisfaction, "I finally know the
right way to teach mathematics!" It was a moment of both triumph and de-
feat. Triumph because she conveyed a sense of exuberance and understand-
ing the function that modeled the data; defeat because she missed the more
general point that the teaching of mathematics is problematic and cannot be
reduced to any predetermined "right" way.
110

---

Our challenge as teacher educators is to create contexts in which teachers,
at all levels of professional development, can envision teaching methods
that reflect reasoning, problem-solving, communicating mathematics, and
connecting mathematics to the real world (NCTM, 1989, 1991) and yet feel
comfortable with their role as classroom managers. Given that some teach-
ers expect a teacher education program to give them the "right way to
teach," we face the difficult task of helping teachers realize the problematic
nature of both mathematics and the teaching of mathematics, and that re-
liance on external authority encourages a passive view of teaching and
learning that fails to honor the student's role in determining the validity of
mathematical outcomes.
5. THE NOTION OF ADAPTATION
The notion of adaptation provides a means by which we can break the cycle
of teaching by telling that permeates many classrooms. Von Glasersfeld's
(1989) identification of the following two principles of constructivism: (a)
Knowledge is not passively received but actively built up by the cognizing
subject, and (b) the function of cognition is adaptive and serves the organi-
zation of the experiential world, not the discovery of ontological reality, fo-
cuses our attention on the importance of context in the creation of knowl-
edge. Von Glasersfeld's second principle, in particular, emphasizes the im-
portance of context as individuals create their knowledge about either math-
ematics or the teaching of mathematics. As Kuhn (1970) has so persuasively
argued, knowledge structures are necessarily contextual. The implication of
this for teacher education is that acquiring new methods of teaching mathe-
matics is necessarily and fundamentally connected to our conception of
what it means to teach mathematics and what it is that we think
mathematics is. For the preservice teacher, this may be the result of
accumulated experiences as a student of mathematics; for the in-service
teacher, conceptions are more likely rooted in what worked yesterday.
If we believe that teacher education should be an exercise in learning to
be adaptive, then we can envision different kinds of teacher education pro-
grams than are typically the case. While the content of such programs may
not differ, what does differ is the means by which this content is acquired. If
we take seriously the notion that the way we learn is a significant factor in
how we eventually teach, then we have the laid the groundwork for teachers
becoming adaptive agents in the classroom. The shift being called for em-
phasizes the notion of "pedagogical power", as compared to "mathematical
power" that is emphasized throughout the NCTM Standards. The notion of
problem-solving involves identifying the conditions and constraints of a
problem and subsequently considering ways of solving the problem.
Pedagogical power also involves recognizing conditions and constraints (of
a classroom situation), weighing the consequences of possible actions, and
then deciding which course of action best addresses the situation in a par-
THOMAS J. COONEY
111

---

6. CONCLUSION
Despite the fact that research is sometimes perceived by practitioners as be-
ing disjointed from the practice of schooling, it is often the case that re-
search mirrors practice. This is particularly so for much of the research on
teaching and teacher education. While such research may help us better un-
derstand some events, the strategy is inherently conservative. It tends to
make practice better as we presently conceive it. On the other hand, if we
think about the notion of being scientific as one of understanding how it is
that teachers come to believe and behave as they do, then we have posi-
tioned ourselves for creating contexts in which teachers can consider the
consequences of their teaching. From this perspective, we can encourage the
teacher to become scientific in the sense that they, too, can engage in the
process of understanding why their students behave as they do. This orienta-
tion casts the teacher as an adaptive agent, that is, as one who sees his or her
task as one of adapting instruction to be consistent with their students' think-
ing and to enable students to provide their own rationale as to why certain
mathematical generalizations are true or not. That is, the teacher plays the
role of being the intellectual leader rather than the determiner of mathemati-
cal truth.
Currently, I am directing a project designed to help teachers develop and
use alternate items and techniques in assessing their students' understanding
of mathematics. One of the teachers provided the following analysis as she
compared her former test questions with the current ones.
Interestingly, this change was affecting her teaching as well. She felt that
she had "a responsibility to train the students to use these items in class so
that they would be prepared for the tests." Hence, her teaching became
punctuated with asking students to explain why something was or was not
the case, to create examples to satisfy certain conditions, and to explore dif-
112
SCIENCE AND TEACHER EDUCATION
ticular classroom. Unlike solving a mathematical problem, however, peda-
gogical problem-solving results in a dynamic state – a process of searching
for better classrooms.
Cooney (in press) has identified a number of activities that can move
teachers along the continuum of reflection and adaptation. Suffice it to say
here that any teacher education program interested in reflection and adapta-
tion must begin with what teachers bring to the program and consider the
means by which teachers can restructure what it is that they believe about
mathematics and its teaching. This is not to diminish the importance of
knowing mathematics, knowing how students learn, and being able to create
different mathematical activities for students. It is, however, the orientation
toward that knowledge that is of utmost importance. Further, it is unlikely
that this orientation will be realized unless it is fostered and encouraged
throughout the teacher education program.

---

THOMAS J. COONEY
113
ferent ways of solving problems. What a marvelous testimony to a teacher
becoming an adaptive agent using assessment as the vehicle for change.
Argue as we might about how the students' responses could have been
categorized, what is indisputable is that the teacher had to make judgments
about the quality of students' thinking. This is a far cry from judging the
correctness of computational items as was typically the case in the survey
cited earlier (Cooney, 1992).
What we need are descriptions, stories, about what influences teachers,
how they can become adaptive agents, and what forms of teacher education
facilitate an adaptive orientation toward teaching. As part of a research and
development project, we have been conducting case studies about how pre-
service secondary teachers have interacted with materials on mathematical
functions. Wilson (1991) has found, for example, that it is easier to impact
on teachers' knowledge and beliefs about mathematics than it is to influence
their knowledge and beliefs about the teaching of mathematics. We need a
Another project teacher provided the following analysis with respect to the
question:
Is it possible for an equilateral triangle to have a right angle? If so,
give an example. If not, why not?