Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

view (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart & Winston.
Cabri Géomètre (1987). [Computer program]. Université de Grenoble, France (IMAG, BP
53X).
Goldenberg, P. (1988). Mathematics, metaphors and human factors: Mathematical, techni-
cal and pedagogical challenges in the educational use of graphical representations of
functions. Journal of Mathematical Behaviour, 7(2), 135-173.
Linn, M. C., & Nachmias, R. (1987). Evaluations of science laboratory data: The role of
computer-presented information. Journal of Research in Science Teaching, 24(5), 491-
506.
Papert, S. (1980). Mindstorms. Brighton, Sussex: Harvester Press.
Pratt, D. (1988). Taking a dive with Newton. Micromath, 4(1), 33–35.
Skemp, R. R. (1979). Intelligence. Learning and action. Chichester, Sussex: Wiley.
Tall, D. O. (1989). Concept images, generic organizers, computers and curriculum change.
For the Learning of Mathematics, 9(3), 37–42.
Tall, D. O., & Winkelmann, B., (988). Hidden algorithms in the drawing of discontinuous
functions. Bulletin of the I.M.A., 24, 111-115.

---

DAVID TALL
Tall, D. O., Blokland, P., & Kok, D. (1990). A graphic approach to the calculus.
Pleasantville, NY: Sunburst. [also published in German as Graphix by CoMet Verlag,
Duisburg, and in French as Graphe, by Nathan, Paris]
The Geometer’s Sketchpad. (1992). [Computer program]. Visual Geometry Project.
Berkeley, CA: Key Curriculum Press.
Thompson, P. (1992). Blocks microworld. [Computer program]. University of California,
San Diego, CA.
199

---

THE ROLE OF COGNITIVE TOOLS IN MATHEMATICS
EDUCATION
Tommy Dreyfus
Holon
1. INTRODUCTION
Imagine a group of junior high school teachers or students; suppose you are
asked to teach them something relevant and interesting and you decide to
introduce them to some elementary notions about chaotic dynamical sys-
tems. One possible way to do this would be to roughly follow the approach
taken by Devaney (1990); this approach starts by letting students explore
what can happen when a function such as 
is repeatedly ap-
plied to an initial value 
among the observed phenomena are attractive
and repulsive fixpoints and periodic cycles as well as chaotic behavior.
A typical activity in investigating the behavior of iterated applications of
a function might include, as a first stage, the computation of long sequences
of numbers for various values of 
Because the structure of such a number
sequence is grasped more easily in a holistic representation, it would be ad-
vantageous, in a second stage, to graph the sequence as a function of the
number of iterations. Moreover, in a third stage, the parameter c needs to be
varied, and the effects of this, variation investigated. One might want to do
this dynamically by looking at the effect of continuously changing the pa-
rameter c on the global shape of the graph of the sequence. Finally, in a
fourth stage, one might want to show that fixpoints, cycles, attraction, and
repulsion can be explained by using a completely different graphical repre-
sentation of the process, namely spiderweb diagrams; these are diagrams
obtained by finding and connecting the sequence of points
in a Cartesian
coordinate system in which the graphs of y = f(x) and y = x have been
drawn.
Let us now look at the support provided by a computer tool in each of the
four stages. The first two stages – computing the sequences and graphing
them – are so time-consuming as to make them virtually impossible without
the computational power of a computer. But computer use in these stages is
trivial, in the sense that the computational power only helps one to carry out
many more explorations much more quickly than would otherwise be pos-
sible. The computer acts as an amplifier. In the third and fourth stages, how-
R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträßer, B. Winkelmann (Eds.),