Bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va uning qandaydir qismlaridan tashkil topgan

5-misol. Ushbu to‘plamlarni qaraylik:

Ushbu: oila da topologiya bo‘ladi. Quyidagi oila da sindirilgan topologiya bo‘ladi.

topologik fazo faqat va faqat yuqoridagicha aniqlangan bo‘lsagina topologik fazoning qism fazosi bo‘ladi.
Bunga o‘xshash hollarda va topologiyalarni taqqoslash haqidagi savol o‘rinli emasligiga ahamiyat bering.
Ayrim hollarda fazoning quyidagi tipdagi to‘plamlari ham qaraladi.
topologik fazoning ochiq-yopiq to‘plami. Bu shunday to‘plamki, va bo‘ladi.
topologik fazoning na ochiq, na yopiq to‘plami. Bu shunday to‘plamki, va bo‘ladi.
Topshiriq. topologik fazoni qaraylik, bunda ,

topologik fazoning ochiq to‘plamlarini, yopiq to‘plamlarini, ochiq-yopiq to‘plamlarini, na ochiq, na yopiq to‘plamlarini ko‘rsating.


TOPOLOGIK FAZO BAZASI


Ta’rif. – biror topologik fazo bo‘lsin. to‘plamning to‘plam ostilaridan tuzilgan va quyidagi shartlarni qanoatlaniruvchi oila topologiyaning bazasi deyiladi:
, ya`ni oila faqat ochiq to`plamlardan iborat;
dagi har qanday ochiq to`plam ning qandaydir qism oilasining yig`indisi ko`rinishda ifodalanadi, ya`ni
.
Topologiya ixtiyoriy birlashmaga nisbatan yopiq bo`lgani (ya`ni , boshqacha aytganda (T3) aksioma bajarilgani) uchun bazadan olingan har qanday to`plamlarning birlashmasi ochiq to`plam bo`lishini ta’kidlaymiz.
Bayonimiz tushunarli bo`lishi uchun quyidagi konstruktiv misolni qaraymiz.
1-misol. topologik fazoni qaraylik, bunda
,
.
Ravshanki, ushbu
, ,
, ,
,
,
,
,
oilalardan har biri topologiyaning bazasi bo`ladi.
1-misol bo`yicha topshiriq. a) fazoning τ topologiyasining bazasi bo`lmaydigan oilalardan bir nechtasini ko`rsating. b) Har bir topologiya o`zi uchun baza bo`ladi (ko`rsating).
Bu topshiriqni hal qilgach, talaba topologiyaning bazasi bo`lmaydigan oilalar mavjudligiga ishonch hosil qilishadi. Natijada talabada qanday shartlar bajarilganda to`plamlar oilasi baza bo`ladi, degan savol tug`iladi.
Qaralayotgan to`plamlar oilasi umuman olganda (qandaydir) topologiyaning bazasi bo`la olishning zaruriy va etarli shartini o`rnatamiz.
1-teorema. Bo`sh bo`lmagan to`plam to`plam ostilarining bo`sh bo`lmagan oilasini qaraymiz. Bu oila faqat va faqat quyidagi shartlar bajarilsa, qandaydir topologiya uchun baza bo`ladi:
(B1) har bir nuqta uchun shunday topiladiki, bo`ladi.
(B2) har qanday ikkita to`plamlar va har bir nuqta uchun shunday to`plam topiladiki, bo`ladi.