Bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va uning qandaydir qismlaridan tashkil topgan

Isboti. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, oila dagi biror topologiyaning bazasi bo`lsin. – ixtiyoriy nuqta bo`lsin. ochiq to`plam bo`lgani uchun ( ) shatdan biror oila ostining birlashmasi ko`rinishida ifodalanishi kelib chiqadi, ya`ni . Bundan shunday topiladiki, bo`ladi. Shu bilan (B1) o`rnatildi.
(B2)ni isbotlash uchun lar ochiq to`plamlar ekanligini ta’kidlaymiz. Shuning uchun kesishma ham ochiq bo`ladi. Bundan shunday oila osti topilib, bo`lishi kelib chiqadi. U holda shunday topiladiki, bo`ladi.
Yetarlilik. (B1)va (B2) shatrlarni qanoatlantiruvchi oila berilgan bo`lsin. Bu oila dagi biror topologiya uchun baza bo`lishini isbotlaymiz. Ushbu oilaning da topologiya bo`lishini isbotlaymiz. Shunda oila topologiyaning bazasi bo`ladi.
(B1) shartdan , kelib chiqadi, bundan . oilaostisini qaraymiz. ekanligidan bo`ladi. (T1) aksioma o`rnatildi.
Endi ixtiyoriy to`plamlar jufti uchun ekanligini ko`rsatamiz. Yuqorida holat o`rnatildi. bo`lsin. Ushbu oilani quramiz
.
(B2) shart bo`lishini ta`minlaydi. dan kelib chiqadi. Biroq , . Bu yerdan , bo`lsin. U holda
(B2) ni yana qo`llab, har bir , juftlik uchun

oilani quramiz. Ushbu oilani qaraymiz
.
Ravshanki, va ekanligidan kelib chiqadi. (T2) aksioma o`rnatildi.
Ushbu oilani qaraymiz.
Ushbuga egamiz
.
(T3) aksioma o`rnatildi va teorema isbotlandi.
To`plamlarning berilgan oilasining berilgan topologiya uchun baza bo`lishi kriteriysini o`rnatamiz.
2-teorema. sistema topologiyaning bazasi bo`lishi uchun quyidagi shart bajarilishi zarur va etarli.
har bir ochiq to`plam va unga tegishli har bir nuqta uchun shunday to`plam topiladiki, bo`ladi.
Isboti. Haqaiqatan, agar sistema topologiyaning bazasi bo`lsa, u holda ochiq to`plam dan olingan qandaydir to`plamlarning birlashmasi ko`rinishida ifodalanadi, bu yerdan ( ) kelib chiqadi.
Aksincha,agar ( ) o`rinla bo`lsa, u holda topologiyaning har qanday to`plami ushbu yig`indi ko`rinishda ifodalanadi

Ikkinchi tomondan, bo`lgani uchun ham bajariladi.Teorema isbotlandi.1-va 2-teoremalarni simvol orqali ifodalaymiz.
– biror berilgan X to`plamning to`plamostilaridan tuzilgan oil abo`lsin. U holda 1-teorema quyidagini tasdiqlaydi:
( oila dagi biror topologiya uchun baza bo`ladi) ((B1va (B2) shartlar bajarilsa)
topologik fazo berilgan bo`lib, bo`lsin. U holda 2-teorema quyidagini tasdiqlaydi:
( oila topologiya uchun baza bo`ladi) (( shart bajarilsa).
2-misol. - haqiqiy sonlar to`plami bo`lsin. , , , sonlar uchun quyidagi formulalarni aniqlaymiz


Ushbu oilani qaraymiz.