Boshlang‘ich shartli, oddiy diffеrеnsial tеnglamalarni yechishning Eylеr usuli uchun dastur ta’minotini yaratish

Boshlang‘ich shartli, oddiy diffеrеnsial tеnglamalarni yechishning Eylеr usuli uchun dastur ta’minotini yaratish.
Reja:

1. 
   Boshlang’ich funksiya tushunchasi
   
2. 
   Koshining integral formulasi
   

Boshlang’ich funksiya tushunchasi
Faraz qilaylik funksiya sohada ( ) aniqlangan bo’lsin.
Ta’rif. Agar sohada funksiya shu sohada golomorf bo’lgan F(z) funksiyaning hosilasiga teng bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u holda funksiya sohada funksiyaning boshlang’ich funksiyasi deyiladi.
Agar sohada funksiya funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, +с. (с-ixtiyoriy o’zgarmas son) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi.
Haqiqatan ham
.
Teorema: Agar f(z) funksiya bir bog’lamli sohada ( S_z) golomorf bo’lsa, u holda f(z) funksiya shu sohada boshlang’ich funksiyaga ega bo’ladi.
Isbot: sohada z₀ ixtiyoriy z nuqtalarni olib, ularni shu sohada yotuvchi silliq (bo’lakli silliq) chiziq bilan birlashtiramiz.
Unda

integral z ga bog’liq bo’ladi. Uni F(z) orqali belgilaymiz:
.
Koshi teoremasining natijasiga ko’ra bu integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi. Binobarin, F(z)funksiya sohada bir qiymatli aniqlanadi.
Endi (1) funksiya sohada berilgan f(z) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lishini ko’rsatamiz.
z nuqtaga shunday orttirma beraylikki, nuqta z nuqtaning sohaga tegishli etarlicha kichiq atrofida yotsin.
U holda F(z) funksiya ortirmasi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu tenglikning har ikki tomonini ga bo’lamiz:

Ravshanki

ya’ni

bo’ladi.
(2) va (3) dan foydalanib

ifodani topamiz.
Keyingi tengsizlikdan
(4)
bo’lishi kelib chiqadi.
Yana Koshi teoremasining natijasidan foydalanib, z va nuqtalarini birlashtiruvchi va sohada yotuvchi chiziq sifatida shu nuqtalarni birlashtiruvchi kesmani olamiz. Unda ning kesmaga tegishli bo’lishidan ushbu

tengsizlikka ega bo’lamiz.
funksiya z nuqtada uzluksiz. Demak, son olinganda ham shunday son topiladiki, bo’lganda

bo’ladi. Shuni e’tiborga olib (4) dan topamiz:
.
Demak,
.
Bundan esa
,
ya’ni

bo’lishi kelib chiqadi.
Aytaylik F₁(z) va F₂(z) funksiyalarning har biri sohaga bitta f(z) funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsin. Unda F₁(z) va F₂(z) funksiyalar sohada bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi. Haqiqatan ham,

bo’lganligidan

funksiya uchun

bo’ladi. Agar deyilsa, unda

bo’lib, F(z) funksiyaning o’zgarmas ekanligi kelib chiqadi.
Demak,

ya’ni

bo’ladi.
N a t i j a: Faraz qilaylik, f(z) funksiya bir bog’lamli sohada ( C_z) golomorf bo’lsin. U holda
(5)
funksiya sohada, f(z) ning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi, bunda C- ixtiyoriy kompleks son. (5) boshlang’ich funksiyaning umumiy ko’rinishini ifodalaydi.
(5) dan, avval z=z₀ deb
,
so’ngra z=z₁ deb

tengliklarni topamiz. Oxirgi tenglikdan esa
(6)
bo’lishi kelib chiqadi.
Odatda (6) formula Nyuton–Leybnits formulasi deyiladi.
Aytaylik, f(z) va g(z) funksiyalar sohada golomorf bo’lsin.
Ma’lumki,

Bu tenglikni integrallab topamiz:
(7)
Agar

bo’lishini etiborga olsak, unda (7) tenglik ushbu

tenglikka keladi. Bu bo’laklab integrallash formulasidir.