Boshlang‘ich shartli, oddiy diffеrеnsial tеnglamalarni yechishning Eylеr usuli uchun dastur ta’minotini yaratish

Koshining integral formulasi.
Kompleks sonlar tekisligi C da D sohani qaraylik. Uning chegarasi silliq (bo’lakli silliq) chiziqdan iborat. Bu yopiq egri chiziq musbat yo’nalishda olingan bo’lsin. Aytaylik, da f(z) funksiya aniqlangan bo’lsin.
Teorema: Agar bo’lsa, u holda nuqta uchun …………………………………
tenglik o’rinli bo’ladi.
O’ng tomonda f(z) funksiyamizni faqat chegaradagi qiymatlar ishtirok qilyapti. Demak golomorf funksiya o’zini chegaradagi qiymatlari bilan to’la aniqlanadi.
Isbot:

Etarlicha kichiq  son uchun doirani qaraymiz , u holda sohada funksiya 2 ta golomorf funksiyaning nisbati sifatida (maxraji nolga teng emas) golomorfdir (hattoki da ham). Ko’p bog’lamli soha uchun Koshi teoremasiga ko’ra

yoki bundan

Endi da o’ng tomon ga intilsa bas. Shuni ko’rsatamiz. f(z) funksiya z nuqtada uzluksiz bo’lganligi uchun songa ko’ra, ni bo’lganda tengsizlik bajariladi.

Bundan

da (3) ning chap tomoni nolga intilishi kelib chiqdi. (2) ni chap tomoni  ga bog’lik emasligini hisobga olsak

ni hosil qilamiz. Shartga ko’ra

ekan.
Odatda (1) formulaga Koshining integral formulasi deyiladi.
Endi Koshining integral formulasini xususiy holda, chegarasi aylanadan iborat soha uchun keltiramiz. Kompleks tekislik C da ushbu doirani qaraylik . Ravshanki bu doiraning chegarasi aylana bo’ladi.
Aytaylik f(z) funksiya to’plamda berilgan bo’lsin.
Teorema: (O’rta qiymat haqidagi teorema)
Agar bo’lsa, u holda

formula o’rinli bo’ladi.
Isbot: Koshining integral formulasiga ko’ra

formula o’rinli.
Ravshanki, markazi nuqtada radiusi r bo’lgan aylanada bo’lib bo’ladi.
Unda

bo’ladi. (5) va (6) tenglikdan (4) tenglik kelib chiqadi.
Adabiyоtlar:


1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 2-nashri, 1-ч.-М, “Наука”, 1976.
2. Xudoyberganov G., Vorisov A., Mansurov X. Kompleks analiz. (ma’ruzalar). T, “Universitet”,1998.
3. Sadullaev A., Xudoybergangov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiev T. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 3-qism (kompleks analiz) “O’zbekiston”,2000.
4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. 3- nashri. – М. “Наука”, 1975.