Bu integralga Gauss formulasini qo‘llasak, ni hosil qilamiz, bu yerda

Bu integralga Gauss formulasini qo‘llasak,

ni hosil qilamiz, bu yerda

va lar uchun qurilgan Gauss formulasining tugunlari va koeffitsientlaridir .
Misol. Gauss formulasi yordamida ushbu

integralni hisoblaylik. Avvalo almashtirish yordamida

ko‘rinishga keltiramiz, so‘ngra deb hisoblashlarni olti xona aniqlikda bajaramiz:

2. Meler kvadratur formulasi. Endi oraliqda
(5.10)
vazn bilan kvadratur formula quraylik. oraliqda (5.10) vazn bilan ortogonal bo‘lgan ko‘phad

Chebishev ko‘phadlari ekanligi ma’lumdir. Buni tekshirish uchun

integralda almashtirish bajaramiz:

Ma’lumki,

va barcha uchun

Bulardan esa kelib chiqadi. Shunday qilib

kvadratur formulaning tugunlari = 0 tenglamaning

ildizlaridan iboratdir. Bu formulaning koeffitsientlarini esa

ko‘rinishda yozish mumkin. Bu integralni hisoblash uchun almashtirish bajaramiz:

Integral osti funksiyasining juftligi tufayli:

Integral ostidagi funksiya tartibli trigonometrik ko‘phaddir. Biz 4- § da bunday ko‘phadni nuqtali to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi aniq integrallashini ko‘rsatgan edik. (5.11) integralni hisoblash uchun to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasida quyidagi nuqtalarni

olsak, ning aniq qiymatiga ega bo‘lamiz. Ravshanki integral ostidagi funksiya

ning nuqtadagi qiymati bo‘lganda nolga teng bo‘lib, bo‘lganda ga teng. Bundan tashqari juft funksiya va , shuning uchun ham . Demak,


Buni (5.11) ga qo‘yib,

ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz quyidagi Meler kvadratur formulasaga ega bo‘ldik:

Bu formula ba’zan Ermit formulasi ham deyiladi, bu formulani Ermit o‘zining analiz kursiga kiritgan edi. Bu formulaning qoldiq hadini qaraylik. 4- bobda ko‘rgan edikki,

Shuning uchun ham va

Quyidagiga ishonch hosil qilish qiyin emas:

Shunday qilib,

Boshqa har xil vazn funksiyali Gauss tipidagi kvadratur formulalar haqida bobning oxiridagi mashqlardan qarang.
6- §. CHEBISHEV KVADRATUR FORMULASI
Biz oldingi paragrafda Meler kvadratur formulasini hosil qildik. Bu formula shu bilan xarakterlanadiki, oldidagi barcha koeffisientlar o‘zaro teng. Agar ning qiymatlari tasodifiy xatolarga moyil bo‘lsa, u holda bunday formulalar katta ahamiyatga ega bo‘ladi. Chunki belgilangan
uchun

ifoda bo‘lganda eng kichik tasodifiy xatoga ega bo‘ladi. Shu munosabat bilan P. L. Chebishev teng koeffisientli
(6.1)
kvadratur formula tuzish masalasini qo‘ygan edi. Bu kvadratur formulaning o‘ng tomonida ta parametr: ta tugunlar vа koeffitsient qatnashadi. Bu parametrlarni tegishli usulda tanlash yo‘li bilan (6.1) formulani - darajali ko‘phadni aniq integrallaydigan qilib qurishga imkoniyat borligiga umid qilish mumkin. Biz keyinchalik (6.1) formulaning har doim ham mavjud bo‘lavermasligini ko‘ramiz. 4- § dagidek bu yerda ham larni topish o‘rniga

ko‘phadni izlaymiz. (6.1) formulada

deb olamiz, bu yerda — ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Shartga ko‘ra bu funksiya uchun , shuning uchun ham quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
(6.2)
Quyidagicha belgilash kiritaylik:

(6.2) tenglikdan, larning ixtiyoriyligini hisobga olsak,

tengliklar kelib chiqadi. Birinchi tenglikdan ni topamiz.