Bu paragrafda ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabolalar hamda ularga doir masalalarni keltiramiz

3.2 Ellips
Har bir nuqtasidan berilgan ikkita F₁ va F₂ nuqtalargacha masofalarning yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’lgan tekislikdagi nuqtalarning geometrik o’rni ellips deb ataladi. Bunda F₁(-c;0) va F₂(c;0) nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi (1-chizma).

ga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.



ellipsning katta o’qi, ellipsning kichik o’qi deyiladi. va lar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o’qlari deyiladi. ellipsning fokusi deyiladi (1-chizma).
Ellipsning fokuslari orasidagi masofani uning katta o’qi uzunligiga nisbati ellipsning eksentrisiteti deyiladi va bilan belgilanadi. Demak,
.
₁ + va ₂ - larni ellipsning fokal radiuslari deyiladi.
va tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziqlarga ellipsning direktrisalari deyiladi.


Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. ^{2 2}= tenglama ellipsni ifodalashini ko’rsating va uning barcha xarakteristikalarini toping.
Yechish: Dastlab berilgan tenglamaning ikkala tomonini 4 ga bo’lamiz:

Bu yerdan berilgan tenglama yarim o’qlari a va bo’lgan ellipsni bildirishini ko’ramiz. Unda c² a²-b² -1=3 bo’lgani uchun qaralayotgan ellipsning fokuslari ₁ ) va ₂ ( ) nuqtalarda joylashganini aniqlaymiz. Topilganlardan foydalanib, ellipsning eksentrisiteti va direktrisasini topamiz:

Ellipsga tegishli nuqtaning fokal radiuslari
₁ va ₂ lardan iborat.
2. ^{2 2} ellips berilgan. Bu ellips o’qlarining uzunliklarini, uchlari va fokuslarining koordinatalarini hamda ekstentrisitetini toping.
Yechish: Berilgan tenglamani ikkala tomonini hadma-had 400 ga bo’lsak,

tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamadan ² , ² bo’lib, ulardan va kelib chiqadi. Demak, ellipsning katta o’qi , kichik o’qi esa ₁ (2-chizma).

Demak ellipsning uchlari A(5;0), A₁(-5;0), B(0;4), B₁(0;-4) nuqtalarda. Ellipsning fokuslari formuladan topiladi.
Demak, . Shunday qilib, ellipsning fokuslari F₁ (3 ) va F₂ (-3 ) nuqtalarda bo’ladi.
Ellipsning eksentrisiteti ga teng.
3. Fokuslari orasidagi masofa 6 ga va kichik o’qi 8 ga teng bo‘lgan ellipsning tenglamasi tuzilsin.
Yechish: Berilganlarga ko’ra, 2c 6, 2b=8 bo’lib, ulardan c va b ni aniqlaymiz. ni topish uchun dan foydalanamiz.
Demak,
va ning qiymatlarini ellipsning kanonik tenglamasiga qo’yilsa, izlangan tenglama hosil bo’ladi. U quyidagicha:
, .
4. Ellipsning tenglamasi dan iborat. Ellipsning absissasi 4 birlikka teng bo’lgan nuqtasining radius- vektorlari topilsin.
Yechish: Berilgan tenglamadan va bo’lib, ulardan va larni topamiz. c ni c formuladan topamiz. c .
Demak, va masalaning shartiga asosan x=4. Bularni r₁ a- va r₂ a+ larga qo’yamiz va
r₁ , r₂
larni hosil qilamiz.