Bu paragrafda ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabolalar hamda ularga doir masalalarni keltiramiz

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. Markazi nuqtada va radiusi bo’lgan aylananing tenglamasini yozing.
Yechish: Masalaning shartiga asosan va . Bularni aylananing kanonik tenglamasiga qo’yib (x-3)²+(y-4)²=25 ni hosil qilamiz.
2. x²+4x+y²-6y-3=0 tenglama bilan berilgan aylananing markazini va radiusini toping.
Yechish: Berilgan tenglamani kanonik ko’rinishga keltiramiz:
x²+4x+y²-6y-3=(x+2)²-4+(y-3)² (x+2)² (y-3)² . Demak, (x+2)²+(y-3)²-16=0 yoki (x+2)²+(y-3)²=4^2. Bundan esa M(-2;3) va R=4 kelib chiqadi.
3. Markazi nuqtada va radiusi bo’lgan aylanaga koordinatalar boshidan o’tkazilgan urinmalar yasalsin hamda ularning tenglamalari tuzilsin.
Yechish: Aylananing markazi absissa o’qidan radiusga teng masofada joylashganligi uchun, urinmalardan biri absissa o’qidan iborat bo’ladi (1-chizma).

Aytaylik, CON bo’lsin, u holda bo’ladi, tg ni hisoblaymiz:

Demak, OM to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti ga teng bo’lib, uning tenglamasi dan iborat bo’ladi.
4. 0 tenglama tekislikdagi qanday nuqtalarni geometrik o’rnini aniqlaydi?
Yechish: x²+y²+6x-8y+25=(x+3)²-9+(y-4)²-16+25=(x+3)²+(y-4)².
Demak, berilgan tenglama (x+3)²+(y-4)²=0 ko’rinishga keladi. Bu tenglamani faqat birgina C(-3;4) nuqta qanoatlantiradi. Demak, berilgan tenglama nuqtani aniqlaydi.


Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1. Quyidagi tenglamalar bilan berilgan aylanalar yasalsin.
1) (x-3)²+(y-4)²=16; 2) ( x-2)²+(y+4)²=25;
3) x²+(y-2)²=4; 4) x²+y²=16.
2. A(5;3) nuqtadan o’tuvchi va markazi 5x-3y-13=0 va x+4y+2=0 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasida bo’lgan aylana tenglamasi tuzilsin.
Javob: (x-2)²+(y+1)²=25.
3. x²+y²=169 aylana bilan 5x-12y =0 to’g’ri chiziqning kesishish nuqtalari topilsin.
Javob: (12;5) va (-12;-5).
4. Quyidagi aylanalarning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin.
1) (x-3)²+(y-4)²=25; 2) x²+(y+3)²=9;
3) ( x-1)²+(y+2)²=5; 4) (x-2)²+(y+3)²=12.
Javob: 1) (0;0); (6;0) va (0;8); 2) (0;0) va (0;-8); 3) (0;0), (0;-4) va (2;0); 4) (0;-3+ ), (0;-3- ) va (2- ;0).
5. (x-2)²+(y+4)²=4 va (x-3)²+(y+1)²=9 aylanalarning markazlaridan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi tuzilsin.
Javob: 3x-y-10=0.
6. Aylana koordinatalar tekisligining birinchi choragida yotadi va koordinata o’qlariga urinadi. Agar aylananing radiusi 5 ga teng bo’lsa, uning tenglamasi tuzilsin.
Javob: (x-2)²+(y-2)² 4.
7. Uchburchak tomonlarining tenglamalari 2x+y-1=0, x-2y+7=0 va 3x-y+11=0 lardan iborat. Bu uchburchakka tashqi chizilgan aylananing tenglamasi yozilsin.
Javob: (x+2,5)²+(y-3,5)²=2,5.
8. (x-1)²+(y-2)²=9 va (x-5)²+(y-1)²=16 aylanalar umumiy vatarining tenglmasi tuzilsin.
Javob: 4x-y-7=0.