Бухоро муҳандислик-технологи

Назорат саволлари:

1. 
   n – та эркинлик даражали системаларда потенциал энергия қандай ифодаланади?
   
2. 
   Система мувозанат ҳолатида потенциал энергияси нимага тенг бўлади?
   
3. 
   Система мувозанат ҳолатида функция қандай қийматга эга?
   
4. 
   n – та эркинлик даражали системаларда кинетик энергия қандай ифодаланади?
   
5. 
   i – материал нуқта тезлиги қандай топилади?
   
6. 
   Тейлор қатори функцияларини ёзинг?
   
7. 
   Қўшалоқ маятник кинетик энергияси тенгламасини ёзинг.
   
8. 
   Қўшалоқ маятник потенциал энергияси нимага боғлиқ бўлади?
   
9. 
   Қўшалоқ маятникнинг эркин тебранишлари тенгламаси қандай ёзилади?
   
10. 
    Эркин тебраниш тенгламаси қандай кўринишга эга бўлади?
    

Таянч иборалар:

Система, мажбурий тебраниш, механик система, тебраниш, тенглама, қўшалоқ маятник, Лагранж тенгламаси, потенциал энергия, кинетик энергия, функция, ифода, формула, материал, масса, тезлик, вектор, скаляр ҳосила,

10 – МАЪРУЗА

СИСТЕМА МУВОЗАНАТ ҲОЛАТИ ЯҚИНИДА КИЧИК ТЕБРАНИШЛАР ТУРҒУНЛИГИ

Маъруза режаси:

0. 
   Система симметрик матрицаси.
   
1. 
   Матрица структураси.
   

Адабиётлар:

1. 
   Бидерман В. Д. «Теория механических колебаний» М. 1980г.
   
2. 
   Камиров М. С. «Динамика механизмов машин» М. 1969г.
   

10.1. Чизиқли алгебранинг асосий теоремаларидан биридан маълумки агар М –

n x n – ижобий аниқланган матрица, К – n x n симметрик матрица бўлса, у ҳолда Т^-1М^-1КТ қ D яъни Т(n x n) матрица ҳосил бўлади. Буни қуйидагича изоҳлаш мумкин.

Т^-1 – Т га тескари матрица;

М^-1 – М га тескари матрица;

D – n x n диагонал матрицаси.

D – матрицаси қуйидаги кўринишда ифодаланди.

бу ерда Л₁, Л₂,…,Л_n – аниқ қийматлар.

Бу ифодадан (9.7) тенгламани соддалаштириш учун фойдаланамиз.

(9.7) ни чап тарафдан М^-1 га кўпайтириб, тенгламани қуйидаги кўринишда ёзамиз.

+ М^-1КХ = 0 (10.1)

Энди, (10.1) га ўзгарувчилар киритамиз,

Х = ТУ (10.2)

бу ерда У – n x 1 кўринишдаги матрица.

Теоремада таъкидлаб ўтилганини назарда тутиб, Т – матрицани ҳисобга олсак, у ҳолда

Т + М^-1КТУ = 0 тенглама ҳосил бўлади.

Бу тенгламани Т^-1 матрицасига чап томондан кўпайтирсак, қуйидагига эга бўламиз.

+DУ = 0

Агар элементлар кўринишга қайтсак, қуйидагича ёзишимиз мумкин.

+ Л₁У₁ = 0

+ Л₂У₂= 0 (10.3)

+ Л_nУ_n = 0

Демак, (9.6) чизиқли дифференциал тенгламалар билан ўзаро боғланган мураккаб системадан, координаталар чизиқли ўзгартиришлари натижасида (10.3) оддий системага ўтдик.

Дифференциал тенгламалар оддий шаклидан фойдаланиб, системанинг мувозанат ҳолати яқинида кичик тебранишини кўриб чиқамиз.

Бу масалани ечишда 2 та ҳолат бўлиши мумкин.

1. 
   Л_i > 0, 1 ≤ i ≤ n бўлса, у ҳолда у_i қ c_1icos + c_2isin муносабат ҳосил бўлади;
   
2. 
   Л_i , 1 ≤ i ≤ n ларда битта ёки иккита бўлиши мумкин, у ҳолда ифода
   

у_i қ c_1i + c_2it , Л_i = 0

ёки кўринишда бўлади.

Биринчи ҳолда система турғун ҳисобланади, чунки t → ∞

у_i < |c_1i| + |c_2i| бўлади.

Иккинчи муносабат эса турғунмас система эканлигини кўрсатади, чунки, t → ∞, у_i → ∞.

Шулардан маълумки, система эркин тебранишлар масаласини ечишда М^-1К матрицаси шахсий қийматларини, яъни Л₁, Л₂, …, Л_n ларни аниқлаш керак бўлади.

Шуни назарда тутиш лозимки, агар Л_i > 0 бўлса, у ҳолда (10.3) тенгламага биноан, - системанинг эркин тебраниш частоталаридан бири ҳисобланади.

Чизиқли алгебрадан маълумки, бирон бир А – матрицанинг шахсий қийматлари, А – матрицаси ҳарактеристик тенгламасининг илдизига тенг бўлади.

Демак, М^-1К ва Т^-1М^-1КТ матрицалари бир хил шахсий қийматлардан иборат. Бу қийматларни аниқлаш учун Е га нисбатан ҳарактаристик тенгламани ечиш лозим бўлади.

|М^-1К – ЛЕ| = 0,

бу ерда (М^-1К – ЛЕ) – матрица аниқловчиси вертикал чизиқлар белгиланган. Е – бирламчи матрица.

Баъзи масалаларни ечишда Т матрицаси ҳақида маълумотга эга бўлиш керак бўлади.