Buni har bir yosh matematik bilishi kerak

121. Kapalak haqidagi masala. Aylanada 𝐴𝐵 vatarning 𝐶 o‘rtasidan 𝐾𝐿 va 𝑀𝑁 
vatarlar o‘tkazilgan (𝐾 va 𝑀 nuqtalar 𝐴𝐵 vatardan bir tomonda). 𝐾𝑁 va 𝐿𝑀 

---

34 
kesmalar 𝐴𝐵 vatarni mos ravishda 𝑃 va 𝑄 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑃𝐶 = 𝑄𝐶 
ekanligini isbotlang. 
122. Istalgan uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi ichki chizilgan 
aylananing radiusining ikki baravaridan kichik emas. Tenglik sharti faqat va faqat 
teng tomonli uchburchak uchun bajariladi. 
123. Apolloniy aylanasi. Berilgan ikki nuqtagacha bo‘lgan masofalar nisbati 𝑚: 𝑛, 
bunda 𝑚 ≠ 𝑛, bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rni aylana bo‘ladi. 
124. Ptolemey teoremasi. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchak qarama-qarshi 
tomonlari ko‘paytmasining yig‘indisi diagonallarining ko‘paytmasiga teng. 
125. 𝐴𝐶 kesmada 𝐵 nuqta olinib, 𝐴𝐶 kesmadan bir tomonda diametrlari 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 
va 𝐴𝐶 bo‘lgan 𝑆
1
, 𝑆
2
va 𝑆
3
yarimaylanalar o‘tkazilgan. 𝑆
3
aylanada 𝐴𝐶 kesmaga 
proyeksiyasi 𝐵 nuqta bilan mos bo‘lgan 𝐷 nuqta olingan. 𝑆
1
va 𝑆
2
yarimaylanalarning 𝐸 va 𝐹 nuqtalari orqali ularning umumiy urinmasi o‘tadi. 
a) 𝐸𝐹 to‘g‘ri chiziq 𝑆
3
yarimaylanaga 𝐷 nuqtadan o‘tkazilgan urinmaga 
parallel ekanligini isbotlang. 
b) 𝐵𝐹𝐷𝐸 ning to‘g‘ri to‘rtburchak ekanligini isbotlang. 
d) Har uchala yarimaylanaga urinuvchi aylananing markazi 𝐴𝐶 to‘g‘ri 
chiziqdan 𝑎 masofada bo‘lsa, shu radiusni toping. 
e) Arximed arbelosi haqidagi masala. 𝑆
1
va 𝑆
3
yarimaylanalar hamda 𝐵𝐷 
kesmaga urinuvchi aylananing radiusi 𝑆
2
va 𝑆
3
yarimaylanalar hamda 𝐵𝐷 
kesmaga urinuvchi aylana radiusicha ekanligini isbotlang.  
126. Nyuton teoremasi. Aylanaga tashqi chizilgan to‘rtburchak diagonallarining 
o‘rtalari va shu aylananing markazi bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. 
127. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda medianalarning 𝑀 kesishish nuqtasi va istalgan 𝑂 nuqta 
uchun 
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
(𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) .