Buni har bir yosh matematik bilishi kerak

112. Styuart teoremasi. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonida 𝐷 nuqta olingan. U 
holda, 𝐴𝐵
2
∙ 𝐷𝐶 + 𝐴𝐶
2
∙ 𝐵𝐷 − 𝐴𝐷
2
∙ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝐵𝐷. 
113. 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadratning ichida 𝑃 nuqtani ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐵𝐴 = 15° bo‘ladigan qilib 
olingan. U holda, 𝐷𝑃𝐶 – teng tomonli uchburchak. 
114. Aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 tenglik 
bajarilsa, 𝐴 va 𝐵 burchaklarning bissektrisalari 𝐶𝐷 tomonda kesishadi. 
115. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana uning 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlariga mos 
ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda urinadi. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq va 𝐵 burchak bissektrisasi 𝑃 
nuqtada kesishsa, ∠𝐵𝑃𝐶 = 90° bo‘lishini isbotlang. 
116. 𝐴 nuqtadan aylanaga 𝐴𝑃 va 𝐴𝑄 urinmalar (𝑃 va 𝑄 – urinish nuqtalari) hamda 
𝐴𝐾𝐿 kesuvchi (𝐾 nuqta 𝐴 va 𝐿 nuqtalar orasida) o‘tkazilgan. Agar 𝐾𝐿 kesmaning 
o‘rtasi 𝑀 bo‘lsa, ∠𝐴𝑀𝑃 = ∠𝐴𝑀𝑄 bo‘lishini isbotlang. 
117. 𝑂 markazli aylana 𝐾𝐿 vatarining davomida 𝐴 nuqta olinib, 𝐴𝑃 va 𝐴𝑄 
urinmalar o‘tkazilgan. Agar 𝑃𝑄 kesmaning o‘rtasi 𝑀 bo‘lsa, ∠𝑀𝐾𝑂 = ∠𝑀𝐿𝑂 
bo‘lishini isbotlang. 
118. Aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 qarama-qarshi 
tomonlarning davomlari 𝑀 nuqtada, 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 tomonlarning davomlari esa 𝑁 
nuqtada kesishadi. U holda, 
a) 𝐴𝑀𝐷 va 𝐷𝑁𝐶 burchaklarning bissektrisalari o‘zaro perpendikular; 
b) shu bissektrisalar yotgan to‘g‘ri chiziqlar to‘rtburchak tomonlarini kesib 
o‘tgan nuqtalar rombning uchlari; 
d) bissektrisalarning 
𝑄 
kesishish 
nuqtasi 
𝐴𝐵𝐶𝐷 
to‘rtburchak 
diagonallarining o‘rtalarini tutashtiruvchi kesmaga tegishli bo‘ladi. 
119. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchak qarama-qarshi tomonlarining 
davomlari 𝑃 va 𝑄 nuqtalarda kesishadi. Aylanaga 𝑃 va 𝑄 nuqtalardan o‘tkazilgan 
urinmalarning uzunliklari 𝑎 va 𝑏 bo‘lsa, 𝑃𝑄 ni toping. 
120. Teng tomonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonida olingan 𝑂 nuqta markazi 
bo‘lgan aylana uchburchakning 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlariga mos ravishda 𝑃 va 𝑄 
nuqtalarda urinadi. Aylanaga o‘tkazilgan urinma bu tomonlarni 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda 
kesib o‘tadi. Agar 𝑂𝑀 va 𝑂𝑁 kesmalar 𝑃𝑄 kesma bilan 𝐸 va 𝐹 nuqtalarda kesishsa, 
𝐸𝐹 =
𝑀𝑁
2
bo‘ladi.