Butun sonlar halqasida bo‘linish munosabati va uning xossalari. Qoldiqli bo‘lish haqidagi teorema

BUTUN SONLAR HALQASIDA BO‘LINISH MUNOSABATI VA UNING XOSSALARI. QOLDIQLI BO‘LISH HAQIDAGI TEOREMA.
Z butunlik sohasidir, shuning uchun ixtiyoriy butunlik sohasiuchun tuzilgan barcha tasdiqlar va ta'riflar Z halqasi uchun ham amal qiladi.
Ta’rif 1. bo’lsin. , topilib _{tenglik o’rinli bo’lganda a soni b soniga bo’linadi deymiz va} ( yoki ) ko’rinishida belgilaymiz. Bunda a – bo’linuvchi, b – bo’luvchi va h – bo’linma deb ataladi.
Quyidagilar sinonimlardir : 1) a, b ga bo’linadi;
2) b, a ni bo’ladi;
3) b, a ning bo’luvchisi.
Tasdiq 1 . a ni b ga bo’lishdagi bo’linma bir qiymatli aniqlanadi.
Isbot. Yuqoridagi tasdiqni Isbotlash uchun teskarisini faraz qilaylik ya’ni a ni b ga bo’lganda ikkita ha xil h₁ va h₂ bo’linmalar hosil bo’lsin. U holda va tengliklaro’rinli bo’ladi. Demak . Bu yerdan ni hosil qilamiz. Ushbu qarama qarshilik bo’linmaning bir qiymatli aniqlanishini ko’rsatadi.
Asosiy xossalar:

1. 
   , ;
   

Isbot: , u holda .

2. 
   ;
   

Isbot: , . U holda . , u holda . Demak, , ya’ni .

3. 
   ;
   

Isbot: , . U holda . , unda . Demak, yoki .

4. 
   ;
   

Isbot: , . U holda . Demak, yoki .

5. 
   ;
   

Isbot: . U holda . Bu yerda , unda . Demak, .

6. 
   ;
   

Ushbu xossa isboti 4 va 5 xossalardan kelib chiqadi.

7. 
   ;