Butun sonlar halqasida bo‘linish munosabati va uning xossalari. Qoldiqli bo‘lish haqidagi teorema

Isbot:

8. 
   ;
   

Isbot: , unda . Demak, .

9. 
   ;
   

Isbot: , unda . Demak, .

10. 
    0 ga bo’lish mumkin emas.
    

Isbot: bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra . Bu tenglikni ixtiyriy natural son qanoatlantiradi. Bu esa bo’linmaning yagonaligiga qarama qarshidir. Demak nolni nolga bo’lish mumkin emas.
Endi bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra .Istalgan sonning nolga ko’paytmasi nolga teng, ammo, . Qarama qarshilikhosil bo’ldi. Demak nolga bo’lish mumkin emas.

11. 
    Agar , u holda .
    

Isbot: bo’lsin. U holda 7 xossaga ko’ra. . Shuning uchun deyishimiz mumkin. Ta’rifga ko’ra , bu yerda - natural son q=1 bo’lsa _,u holda , soni birdan katta bo’lsa . Demak,
Teorema . Berilgan uchun, istalgan sonni а = bq + r ,
( 0 < r  < | b | ) ko’rinishda yagona tarzda ifodalash mumkin.
Isbot. bq ni b ning a dan osmaydigan eng katta umumiy karralisi sifatida olib
а = bq + r tenglikni qaraylik

( a = 3b+r )
U holda, 0 < r < | b |.
Endi bunday ifodalanishning yagonaligini isbotlaymiz.
Aytayli qoldiq yagona bo’lmasi, ya’ni а = bq + r va а = bq ₁ + r ₁ — lar bir paytda o’rinli bo’lsin.
Demak 0 = а – а = b ( q – q ₁ ) + ( r – r ₁ ). Bu yerda 0 soni b ga ; b ( q – q ₁ ) soni ham b ga bo’linadi , demak ( r – r ₁ ) albattda b ga bo’linishi kerak.
0 < r < b va 0 < r ₁ < b , u holda r – r ₁ < b va r – r ₁ lar b ga bo’linadi, demak 
r – r ₁ =0 va q — q ₁ =0 ya’ni yuqoridagi ikki tasvirlanish ustma ust tushadi.
Ta’rif. а = bq + r ifodada q — a ni b ga bo’lishdagi to’liqsiz bo’linma va r — qoldiq deb ataladi.