CamScanner 02-19-2023 18. 11

4- misol. O‘nli sanoq tizimidagi yozuvining oxirgi raqami 0, 2, 4, 6 yoki 8 raqamlaridan biri bo‘lgan natural sonlar to‘plami ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to‘plamining qism to‘plamidir. ■
5- misol. to‘plam uchun , to‘plamlarning har biri xos qism to‘plamdir.


2-bob.To'plamlamning aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar.
XX asming boshiga kelib, Kantorning matematikani standartlashtirish bo'yicha dasturining asosi bo'lgan va “to'plamlaming sodda nazariyasi”deb ham ataluvchi to'plamlar nazariyasi mukammal emasligi ma’lum bo'ldi. To'plamlarning sodda nazariyasini o'rganish jarayonida Rassel paradoksga kelib qoldi. Kantorning to'plamlar nazariyasi ichki ziddiyatga ega ekanligi Rassel paradoksi sifatida ifodalangan.
Rassel paradoksi. Faraz qilaylik, К - o'zini element sifatida o'zida saqlamagan barcha to'plamlar to'plami bo'lsin. U holda, К - o'zini element sifatida saqlaydimi? Agar bu savolga “ha” deb javob berilsa, К to'plamning aniqlanishiga ko'ra, u К ning elementi bo'lmasligi kerak -ziddiyat. Agar “yo'q ” deb javob berilsa, yana К to'plamning aniqlanishiga ko'ra, u to'plam sifatida К ning elementi bo'lishi kerak - yana ziddiyat.
Hozirgi zamon to'plamlar nazariyasi aksiomalar tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariyadeb yuritiladi. To'plamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimini keltirish mumkin. To'plamlar nazariyasida, ko'pincha, bu tizimga tanlash aksiomasi deb ataluvchi aksiomani ham qo'shib olib, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimibilan ish ko'riladi. Bu aksiomalar tizimidan tashqari boshqa aksiomalar tizimlaridan ham foydalaniladi. Masalan, fon Neyman-Bemeyss-Gyodel
tizimi.
Quyida tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimiga kiruvchi ba’zi aksiomalarni keltiramiz.
Hajmiylik aksiomasi. Ikkita A va В to'plamlar faqat va faqat aynan bir xil elementlardan iborat bo'lsagina tengdir.
Bo'sh to'plam aksiomasi. Birorta ham elementga ega bo'lmagan to'plam, ya’ni bo‘sh to'plam mavjud. B o'sh to'plam uchun belgisi qo'llaniladi.
Juftlik aksiomasi. Ixtiyoriy Ava В to'plam lar uchun shunday С to'plam mavjudki, bu to'plam elementlari faqat A va В to'plamlardan iboratdir (ya’ni, A va В to'plamlar С ning yagona elementlaridir). С to'plam {A,B} ko'rinishda belgilanadi. Ushbu {A,B} ifoda A va В ning tartiblanmagan juftligi deb yuritiladi. Agar A va В to'plamlar teng bo'lsa, u holda С bitta elementdan iboratdir.
Tanlash aksiomasi. Bo'sh bo'lmagan va o'zaro kesishmaydigan to'plamlar majmuasidagi har bir to'plam dan bittadan “vakil”-element tanlab, shu elementlar to'plami C ni tuzish mumkin. X to'plam shu majmuaning qanday elementi bo'lishidan qat’i nazar X va С to'plamlar faqatgina bitta umumiy elementga ega bo'ladi.
Albatta, bu aksiomalar (shu jumladan, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining boshqa aksiomalari ham) bizga o'z-o'zidan oydin bo'lgan tasdiqlarga o'xshab tuyuladi, chunki bizning tafakkurimiz to'plamlar majmuasini chekli deb tassavvur qilishga o'rgangan. To'plamlar majmuasi chekli bo'lgan holda, masalan, tanlash aksiomasini tushunish qiyin emas. Tanlash aksiomasi cheksiz to'plamlar uchun qo'llansa, ba’zan, tortishuvlarga sabab bo'luvchi juda qiziq tasdiqlar vujudga keladi. Bu fikrni tasdiqlash maqsadida Banax-Tarskiy paradoksi (shaming ikkilanishi) va Xausdorf paradoksi mavjudligini ta’kidlaymiz.
Yuqorida keltirilgan aksiomalardan, jumladan, hajmiylik aksiomasidan, to'plamlar bo'yicha ko'plab tasdiqlami isbotlashda foydalanamiz.
Hajmiylik aksiomasini boshqacha ifodalash ham mumkin. A to'plamning har bir elementi В to'plamda ham mavjud va, aksincha, В to'plamning har bir elementi A to'plamda ham mavjud bo'lsa, u holda A va В to'plamlar tengdir. A va В to'plam larning tengligini A = В yoki В = A ko'rinishda ifodalaymiz. Aslida, A = В bo'lsa, u holda A va В to'plamlar aynan bitta to'plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o'nlik sanoq tizimidagi yozuvning oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan biri bo'lgan natural sonlar to'plamini A bilan, birni qo'shganda ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to'plamini esa В bilan belgilasak, u holda A = В bo'ladi. A = В yozuv to'plamlardagi elementlarning qaysi tartibda joylashishiga bog'liq emas. Albatta, to'plamdagi elementlarni qaysi tartibda qo'yish masalasi ham dolzarbdir. A va В to'plamlar teng bo'lmasa, u holda bu holda yoki ko'rinishda ifodalanadi.
To'plamlar nazariyasida quvvat eng muhim tushunchalardan biri bo'lib, u to'plamlarni taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To'plamning quvvati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo'lishiga qarab ta’riflanadi. Quvvat tushunchasi to'g'risida batafsil ma’lumotni to'plamlar nazariyasiga bag'ishlangan manbalardan topish mumkin. Diskret matematikada, asosan, chekli to'plamlar bilan ish ko'riladi. Shu sababli, to'plamning quvvati tushunchasini faqat chekli to'plamlar uchun keitirish bilan chegaralanamiz.
1-teorema (jamlash qoidasi). Kesishmaydigan A va B chekli to'plamlarning (5- rasm) birlashmasidagi elementlar soni A va B to'plamlar elementlari sonlarining yig'indisiga teng: Isbot. n(A) = k, n(B) = m bo'lib, A to'plam αp a2, ..., ak elementlardan, B to'plam esa b{ , bv ..., bm ele-mentlardan tashkil topgan bo'lsin.Agar A va B to'plamlar kesishmasa, ularning birlash-masi a{ , ar ..., ak , b{ , bv ..., bm elementlardan tashkil topadi: Bu to'plamda k + m ta element mavjud, ya'ni 4 Xuddi shu kabi, chekli sondagi A, B, ..., Fjuft-jufti bilan kesishmaydigan to'plamlar uchun quyidagi tenglik to'g'riligini isbotlash mumkin: 2-teorema. Ixtiyoriy A va B chekli to'plamlar uchun ushbu tenglik o'rinli: Isbot. Agar bo'lsa, bo'lib,1- teoremaga ko'ra (1) tenglik o'rinli. Agar bo'lsa,u holda to'plamni uchta juft-jufti bilan kesishmaydigan to'plamlarning birlashmasi ko'rinishida tasvirlash mumkin (6- rasm): (2) to'plamlardagi elementlari soni mos ravishda , , ga teng. Jamlash qoidasiga ko'ra, (2) tenglikdan , ya'ni (1) tenglik hosil bo'ladi. M a s a 1 a. 100 kishidan iborat sayyohlar guruhida 70 kishi ingliz tilini, 45 kishi fransuz tilini, 23 kishi esa ikkala tilni ham biladi. Sayyohlar guruhidagi necha kishi ingliz tilini ham, fransuz tilini ham bilmaydi? Y e c h i s h. Berilgan guruhdagi ingliz tilini biladigan sayyohlar to'plamini A bilan, fransuz tilini biladigan sayyohlar to'plamini B bilan belgilaymiz. U holda ham ingliz tilini, ham fransuz tilini biladigan sayyohlar to'plami to'plamdan, shu ikki tildan hech bo'lmasa bittasini biladigan sayyohlar to'plami esa to'plamdan iborat bo'ladi. Shartga ko'ra, (1) tenglikka ko'ra, Shunday qilib, 92 kishi ingliz va fransuz tillaridan hech bo'lmaganda bittasini biladi, 100-92 = 8 kishi esa ikkala tilni ham bilmaydi

Xulosa
"To‘plamlar nazariyasi elementlari " mavzusi algebra va sonlar nazariyasida fanida asosiy o'rinni egallaydi. Hayotning ko'pgina masalalarini yechishda avvalo unga mos bo'lgan matematik modellar tuziladi. Tuzilgan matematik modellar asosan algebraic usul bilan tekshiriladi va yechiladi. Buni biror jarayonning differensial tenglamasi yoki differensial tenglamalar sistemasi misolida ko'rish mumkin. Har bir masalaning yechimini biror toplamda (funksional fazoda) qaraladi.

Bu esa algebraik tushunchalami, tsdiqlarni umumiy miqtai nazardan qarashga olib keladi. Shu sabali bu kurs ishida to‘plamlar haqida va unga doir masalalar ko'rildi.
Algebra fan va texnikaning juda ko'p tarmoqlarida tatbiq etiladi. Jumladan: kvant mexanikasida guruhlar nazariyasidan foydalaniladi.
Axborotlami uzatish va qabul qilishda (televideniya, radio, uyali telefon)da operatorlar nazariyasidan keng foydalaniladi. Iqtisodiy masalalarni modellashtirish va ulaming optimal yechimlarini aniqlashda chiziqli fazo (to‘plamlar) tushunchalar muhim ahamiyatga ega.
Algebra va sonlar nazariyasi fanida "To‘plamlar nazariyasi elementlari" mavzusi bakalavriatning dastlabki ikki kursida o'qitilib, mutaxassislik fanlarining asosiylaridan hisoblanadi va tushunchalar va ularga oid masalalar ko'riladi.
Kurs ishi orqali biz nazariy bilim berish, tegishli tushunchalar, tasdiqlar, algebra va sonlar nazariyasiga xos bolgan isbotlash usullarini o'rgandik, olgan nazariy bilimlarini masalalar echishga tadbiq eta bildik va mantiqiy mushoxada qilish, fazoviy tasavvur hamda abstrakt tafakkur kabi, inson faoliyatining barcha sohalari uchun zarur bolgan qobiliyatni shakllantirish inumkin. Bu holatda o'quvchiga algebra va sonlar nazariyasiga oid bilimlar berish, olgan nazariy bilimlarini amaliyotga qo'llay bilishga o'rgatishdan va oqibat natijada ulami abstrakt fikrlash madaniyatini yuksak pog'onalarga ko'tarishdan iboratdir.