Chegirmalarning to`la sistemasi

2-T e o r e m a. m modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinflari to`plami ko`paytirish amaliga nisbatan abel gruppa tashkil qiladi.
I s o b o t i. G<sub>m</sub> to`plam m modul bilan o`zaro tub chegirmalarning barcha sinflari to`plami bo`lsin. m modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinflarining ixtiyoriy ikkitasining ko`paytmasi yana modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinfi bo`ladi.
G<sub>m</sub> dagi sinflarni ko`paytirish amali kommutativlik va assotsiativlikxossalariga ega.
C₁ sinf ko`paytirish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi . Ixtiyoriy C_i ϵ G_m sinf uchun teskari sinf mavjudligini ko`rsatamiz. G<sub>m</sub> = { C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, . . . , C<sub>ϕ(m)</sub>} bo`lsin. Bunda ϕ (m) – Эyler funksiyasi.
a₁ , a₂ , . . . , a_ϕ(m) lar m modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi va a<sub>i</sub> ϵ C<sub>i</sub> ( i = 1, ϕ (m) ) bo`lsin. 1- Teoremaga asosan a_i · a₁, a_i · a₂, . . . , a_i · a_ϕ(m) lar ham chegirmalarning keltirilgan sisremasini tashkil qiladi. Ular orasida m modul bo`yicha 1 bilan taqqoslanuvchi a<sub>i</sub> a<sub>k</sub> element mavjud, yani
a<sub>i</sub> · a<sub>k</sub> ≡ 1(mod m ) o`rinli. U holda C_i · C_k = C₁ tenglik o`rinli bo`lib, C_k sinf C_i sinfga teskari sinf bo`ladi. Demak, < G<sub>m</sub>, · , <sup>-1</sup> > algebra abel gruppasi ekan.
Ta’rif. < G<sub>m</sub>, · , <sup>-1</sup> > gruppa m modul bilan o`zaro tub chegirmalar sinflarining multiplikativ gruppasi deyiladi.
M i s o l. m = 6 modul bo`yicha G<sub>6</sub> = { C<sub>1</sub>, C<sub>5</sub> } to`plam multiplikativ gruppa bo`ladi. Haqiqatan, ko`paytirish amali quyidagicha aniqlanadi:
C₁ · C₁ = C₁, C₁ · C₅ = C₅, C₅ · C₅ = C₁.
Bu tengliklardan ko`rinadiki, C<sub>1</sub> va C<sub>5</sub> sinflar o`ziga -o`zi teskari sinflar, C<sub>1</sub> sinf esa neytral element bo`ladi. Demak, assotsiativlik xossasi bajariladi.