Chegirmalarning to`la sistemasi

T e o r e m a. m, +,-, > -algebra gruppa bo`ladi.
4-Ta’rif. m, +,-, > gruppa m modul bo`yicha chegirmalar sinflarining additiv gruppasi deyiladi.

1. 
   dagi chegirmalar sinflarini ko`paytirish amali. C_i · C_j = C_l (3)
   

ko`rinishda aniqlanadi, bunda i · j < m bo`lsa, i · j = l, i · j ≥ m bo`lsa, i · j =mq + l, yani l = i ·j – mq bo`ladi.
Taqqoslamar xossalari va (3) tenglikga asosan, ixtiyoriy C_i va C_j sinflarga bir qiymatli C_l sinfi mos qo`yiladi.
Chegirmalar sinflarini qo`shish va ko`paytirish amallari shu chegirmalar sinflaridagi sonlar ustida mos amallarni bajarish kabi bo`ladi. Chegirmalar sinflari ustida qo`shish va ko`paytirishning kommutativlik, assotsiativlik va qoi`shishga nisbatan ko`paytirishning distributivlik xossalari o`rinli.
sinf ko`paytirish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi, yani tenglik o`rinli. Bu mulohazalardan quyidagi teoremaning o`rinli ekani kelib chiqadi:
3 - t e o r e m a. < Z/m, +,-, ·, 1 > -algebra kommutativ halqa bo`ladi.
5-Ta’rif. < Z/m, +,-, ·, 1 > halqa m modul bo`yicha chegirmalar sinflarining halqasi deyiladi.
M i s o l. Z/4 to`plam halqa to`plam tashkil etishini ko`rsating. Z/4 to`plamda ko`paytirish amali quyidagicha bo`ladi:
, , , . . .
Ko`paytirish amali kommutativ va assotsiativ (tekshirib ko`ring). Distributivlik xossasi bajariladi. Xaqiqatan (C<sub>2</sub> + C<sub>3</sub>) · C<sub>2</sub> = C<sub>1</sub> · C<sub>2</sub> = C<sub>2</sub> , C<sub>2</sub> · C<sub>2</sub> = C<sub>0</sub> , C<sub>3</sub> · C<sub>2</sub> = C<sub>2</sub> C<sub>2</sub> ·C<sub>2</sub> + C<sub>3</sub> · C<sub>2</sub> = C<sub>2</sub> bo`lgani uchun (C₂ + C₃)·C₂ = C₂ ·C₂ + C₃ · C₂ bo`ladi. Z/4to`plamda ayirish amali bajariladi. Demak, Z/4 to`plam halqa ekan.