Chegirmalarning to`la sistemasi

1-T e o r e m a (chiziqli forma haqida). Agar ax chiziqli fo`rmadagi x o`zgaruvchi m modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etsa va (a; m) =1 bo`lsa, u holda ax ham m modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etadi.
Teoremani isbotlash uchun ax lar ham yuqoridagi uchta shartni qanoatlantirishini ko`rsatish lozim. 1. ax sonlar soni ϕ(m) tab o`ladi. Chunki x ning o`rniga biz ketma - ket ϕ(m) ta son qo`yamiz.
2. Chiziqli forma haqidagi teoremaga asosan ax + b soni m modul bo`yicha turli sinf elementi edi. Demak, ax lar ham turli sinf vakilllari bo`ladi, cunki x soni har xil sinflardan olingan va (a; m) =1.
3. Teorema shartiga asosan, (a; m) =1 va x o`zgaruvchi m modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasining elementi bo`lganidan (x; m) =1 bo`ladi. Demak, (ax; m) =1 ekan.
E s l a t m a. x va ax chegirmalar m modul bo`yicha alohida chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qilsa-da, x ning bir xil qiymatlarida ular turli sinf elementlari bo`ladi. Haqiqatan, (x; m) =1 bo`lgani uchun ax ≡ x(mod m) taqqoslama faqat va faqat a ≡ 1(mod m) bo`lganidagina rost bo`ladi. Bu sistema-larning mos elementlari (o`rin nuqtai nazaridan) m modul bo`yicha turli sinf elementlar bo`ladi.
M i s o l. a=5, m=14 bo`lsin. U holda (5; 14) = 1 bo`lib, m modul bo`yicha che-girmalarning keltirilgan sistemasi x = 1, 3, 5, 9, 11, 13 dan iborat bo`ladi.
m = 14 modul bo`yicha 5x ni hisoblaymiz:
5·1 ≡ 5 (mod 14),
5·3 ≡ 1 (mod 14),
5·5 ≡ 11 (mod 14),
5·9 ≡ 3 (mod 14),
5·11 ≡ 13 (mod 14),
5·13 ≡ 9 (mod 14).
Demak, 5x ni 14 ga bo`lgandagi qoldiqlar mos ravishda 5, 1, 11, 3, 13,bo`lar ekan. 1, 3, 5, 9, 11, 13 va 5, 1, 11, 13, 9 sistemalar bir – biridan faqat sonlarning turgan o`rni bilan farq qiladi, xolos. Bu sonlar ko`paytmalari esa o`zaro teng.