Chegirmalarning to`la sistemasi

T e o r e m a. (chiziqli forma haqida) Agar (a,m) = 1 va b ixtiyoriy butun son bo`lib, x o`zgaruvchi m modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil etsa, u xolda ax + b forma ham m modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil etadi.
I s b o t. Haqiqatan, hosil bo`lgan sonlar sistemasi:
1) m ta sondan iborat, chunki x ning o`rniga m ta har xil qiymat (m modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasi) qo`yiladi.
2) Hosil bo`lgan sonlar m modul bo`yicha har xil sinfga tegishlidir. Teskarisini faraz qilaylik, yani ular har xil sinfga tegishli bo`lmasin. Boshqacha aytganda, x ning ikkita har xil x₁ va x₂ qiymatlarida ax₁ + b, ax₂ + b lar m modul bo`yicha taqqoslanuvchi yani, yani ax<sub>1</sub> + b ≡ax<sub>2</sub>+b(mod m) bo`lsin.U holda ax₁≡ax₂(mod m) taqqoslamaga ega bo`lamiz. Ammo (a;m)=1 bo`lgani uchun bu taqqoslamaning har ikkala qismini a ga qisqartirib x₁≡x₂(mod m) taqqoslamani hosil qilamiz. Lekin bunday bo`lishi mumkin emas, chunkiteorema shartiga asosan x o`zgaruvchi m modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil etar edi, yani
x₁ ≡ x₂ (mod m). Demak, farazimiz noto`g`rib o`lib, ax +b forma m modul bo`yicha har xil sinflarning elementlaridan iborat ekan.
Endi (1) chegirmalar sinflari to`plamini Z/m orqali belgilaylik. Z/m tyo`plamdaq qo`shish va ko`paytirish amalllarini quyidagicha aniqlaymiz:
C_i + C_j = C_r C_i - C_j =C_t. (2)
Agar (2) da i+jbo`lsa r=i+j, agar i+j≥m bo`lsa, r=i+j-m, agar i-j≥0 bo`lsa, t=i-j’ agar i-j<0 bo`lsa, t=m+i-j bo`ladi.
Taqqoslamalar xossalari va (2) tengliklarga ko`ra ixtiyoriy C_i va C_j sinflar uchun ularning yig`indisi C<sub>r</sub> va ayirmasi C<sub>t</sub> sinflar mavjud.
Butun sonlarni qo`shish amali komutativ assotsativ bo`lgani uchun chegirmalar sinflarini qo`shish amali ham komutativ va assatsativ bo`ladi. C<sub>0</sub> chegirmalar sinfi qo`shish amaliga nisbatan neytral element bo`ladi, yani
C<sub>i</sub> + C<sub>0</sub> = C<sub>t</sub> tenglik o`rinli.
-C_i sinf C_i sinfga qarama- qarshi sinf bo`ladi, yani C<sub>i</sub> +(-C<sub>i</sub>) = C<sub>0</sub> tenglik o`rinli.
Bu mulohazalardan quyidagi teoremaning o`rinli ekani kelib chiqadi.