Chekli ayirmalar usuli haqida tushunchalar

Chekli ayirmalar yoki to’r usuli.
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini topishda eng qulay usullardan biridir .
Bu usulining asosida hosilarni chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi .
Aytaylik, Oxy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan chegaralangan yoki G soha berilgan bulsin. G sohani kesib o’tuvchi o’qlarga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar oylasini quramiz :

Bu to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo’lgan turda ikki tugunni qo’shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan OX yoki OU koordinata o’qlari yunalishida h yoki l masofada joylashgan bo’lsa G+Г sohaga tegishli bo’lgan va sohaning chegarasi G dan, qadamdan kichik masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo’shni bo’lgan to’rtta tugun ajratilgan tugunlariga tegishli bo’lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi. Ajratilganndan qolganlari chegara tugunlari deb ataladi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun aralash masala. To’r usuli.
Issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun aralash masalani kuramiz. Ya’ni

tenglamani u(x,0)=f(x), (0 1. Yuqoridagi aralash masalaga , xususan uzunligi, s bo’lgan bir jinsli sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasini ko’rish mumkin. u(x,0)=f(x) tenglama almashtirish bilan uni

ko’rinishga keltiramiz. Shuning uchun bumda a=1 deb olamiz. Yarim tekislik t  0,0  х  s da ikkita [a,b] el to’gri chiziqlar:
x=ih, i=0,1,2,…
t=jl, j=0,1,2,…
oilasini ko’ramiz.
u( belgilash bilan va hosilani xar bir ichki tugunda taqribiy ayirmalar nisbatida quyidagcha yozamiz:

hosilani esa , quyidagi nisbatlardan biri bilan almashtiramiz:

Bu holda boshlang’ich tenlamani a=1 bo’lganda quyidagi 2 turdagi chekli-ayrimali
tenglamalar ko’rinishda yozish mumkin:

Bu tenglamalarda kabi belgilab, ularni quyidagicha yechamiz:

Yuqoridagi tenglamalarni tuzshda oshkor sxemadagi tenglamani tuzishda oshkormas sxemadan foydalanildi.

Oshkor sxema Oshkormas sxema
Yechimlarning xatoliklarini baholash mos ravishda quyidagicha:

bu yerda masalani aniq yechimi, 0  t  T , 0   Z da

Yuqoridagi tenglamalarni baholashni ko’ramiz. Biridan ikkinchisini yechimi aniqroq bo’ladi.