Чизиқли алгебра методларини иқтисодий моделлар таҳлилига татбиқИ

ПРОФЕССОР Т.Х.АДИРОВНИНГ МАЪРУЗАСИ

18- ma’ruza. Chiziqli algebraning iqtisodiy masalalarga tatbiqi


Tayanch so’z va iboralar: Chiziqli tenglamalar sistemasi, mahsulot vektori, xarajat vektori, mahsulot hajmi, tarmoqlararo balans, nomanfiy bazis yechimlar, ishlab chiqarish.


Reja:

1. 
   Tarmoqlararo balansning matematik modeli.
   
2. 
   Rejalashtirishning asosiy masalasi.
   
3. 
   Bilvosita xarajatlar haqida tushuncha.
   
4. 
   To`la xarajatlar haqida tushuncha.
   

Chiziqli algebra usullari masalan, chiziqli tenglamalar sistemasi nazariyasi keng ko`lamda iqtisodiyotni rejalashtirish va tashkil etish bilan bog`liq masalalarni yechishda qo`llaniladi. Biz quyida asosan tarmoqlararo balansning matematik modeli bilan tanishamiz.

Iqtisodiyotni sonli tahlil qilish xususan, ijtimoiy mahsulot ishlab chiqarish jarayonini tahlil qilish masalasi o`zaro ishlab chiqarish mahsulotlari va xizmatlar oqimlarini o’rganishga keltiriladi.
Shu nuqtai-nazardan iqtisodiy sistema har biri biror-bir turdagi mahsulot ishlab chiqarishga moslashgan tarmoqlardan iborat deb qaralishi mumkin. Ishlab chiqarilgan mahsulotlar o`zaro ayirboshlanadi va natijada tarmoqlar orasida mahsulot oqimlari vujudga keladi. O`zaro mahsulot oqimlarining vujudga kelishi muqarrardir, chunki har bir tarmoq o`z mahsulotini ishlab chiqarish jarayonida o`zga tarmoq mahsulotidan foydalanadi yoki uni sarflaydi.
Iqtisodiyotni normal rivojlanishining asosiy shartlaridan biri barcha tarmoqlar bo`yicha ishlab chiqarish sarflari va umumiy yig`indi mahsulot orasida balansning mavjudligidir. Bunda ishlab chiqarilgan mahsulotning bir qismi ishlab chiqarish tarmoqlari sohasiga qaytmasligini va shaxsiy ehtiyojni qondirishga, jamg`arishga sarflanishini yoki eksportga chiqarilishini e’tiborga olish talab etiladi.
Iqtisodiy sistemaning yalpi mahsuloti uning ta o`zaro bog`liq tarmoqlarida ishlab chiqariladi deylik. Ishlab chiqarish sikli yakunlanadigan vaqtni o`z ichiga olgan davrni qaraymiz.
– mos ravishda, birinchi, ikkinchi, …, – tarmoqlarning natural birliklarda ishlab chiqaradigan yalpi mahsulot hajmlari bo`lsin. Aytaylik, qaralayotgan davrda – metallurgiya tarmog`ining tonna hisobida ishlab chiqaradigan metall miqdori, – kimyo tarmog`ining ishlab chiqaradigan mahsuloti miqdori, – avtomobilsozlik tarmog`ining ishlab chiqaradigan yengil avtomobillari soni bo`lsin va xokazo.
– sistemaning yalpi mahsulot vektori deyiladi.
– tarmoqning birlik mahsulotini ishlab chiqarish uchun – tarmoq mahsuloti sarfini orqali belgilaymiz. Masalan, misolimizda dona avtomobil ishlab chiqarish uchun 1-tarmoq mahsuloti, ya’ni metallning sarfi miqdorini bilan belgilaymiz. -tarmoqning ishlab chiqarish sohasiga qaytmaydigan yakuniy mahsulot miqdori bo`lsin. U holda – sistemaning yakuniy mahsulot vektori deyiladi.
Sistemaning -tarmog`i mahsuloti uchun moddiy balans sxemasini «mahsulot ishlab chiqarish va uni taqsimlash» prinsipi bo`yicha quyidagicha tasvirlash mumkin.

• • • • •

. . . . . .

Moddiy balansning oqimlar tenglamalarini

(1)
ko`rinishda yozish mumkin.
Yuqoridagilarni quyidagi jadval tasvirlash mumkin

– mahsulotning bir (shartli) birligini ishlab chiqarish uchun -mahsulotning bevosita sarfi miqdori bo`lsin. kattaliklarga bevosita xarajat koeffitsiyentlari yoki texnologik koeffitsiyentlar deyiladi.
Masalan, misolimizga qaytsak, – 1 dona avtomobil ishlab chiqarish uchun bevosita sarflanadigan metall miqdoridir.
O`z-o`zidan ko`rinadiki, – mahsulotning tarmoqqa jami sarfi tarmoqning bir birlik mahsulotini ishlab chiqarish uchun mahsulotning bevosita sarfi ning ushbu tarmoq ishlab chiqaradigan mahsulot miqdori ga ko`paytirilganiga teng.
ya’ni, ishlab chiqarish sarflarida chiziqlilik prinsipi o`rinli bo`lsin. (1) tenglamalar sistemasini

ko`rinishda yozish mumkin. Oxirgi sistemani, o`z navbatida, vektor-matritsa ko`rinishida quyidagicha yozish mumkin:
yoki (2)
Bu yerda, – -tartibli birlik matritsa, – bevosita xarajat koeffitsiyentlari matritsasi yoki texnologik matritsa deb ataladi. kattaliklarni o`zgarmas deb qaraymiz.
(2) tenglamaga Leontevning chiziqli modeli deyiladi. Agar bo`lsa, Leontev modeli yopiq, bo`lganda esa model ochiq deyiladi.
Masala quyidagi hollarning biri ko`rinishida qo`yilishi mumkin:

1. 
   Yakuniy mahsulot hajmlari vektori ga qarab sistema yalpi mahsulot hajmi vektori ni hisoblash;
   
2. 
   ga qarab ni hisoblash.
   

Rejalashtirishni asosiy masalalaridan biri bu birinchi masaladir, ya’ni vektorning berilishiga qarab, vektorni hisoblashdir. Leontevning ochiq modeliga tegishli asosiy masala – tegishli model ixtiyoriy yakuniy ehtiyoj ni qondira oladimi, degan savolga javob berishdan iborat. Ma’nosiga ko`ra nomanfiy bo`lgani uchun iqtisodiy sistema matritsa qanday bo`lganda nomanfiy yechimga ega bo`lishini tekshirishdan iborat.
vektorning nomanfiyligini ta’minlaydigan manfiymas vektor mavjud bo`lsa, matritsaga (shu jumladan, modelga) samarali matritsa (model) deyiladi.
Ochiq model uchun matritsaning samaralilik zaruriy va yetarli shartlari isbotlangan. Ularning biriga ko`ra, ochiq (2) model samarali bo`lishi uchun manfiymas matritsaning barcha xos qiymatlari moduli bo`yicha 1 dan kichik bo`lishi yetarli.
Agar (2) modelda nomanfiy matritsa samarali bo`lsa, u holda ixtiyoriy berilgan nomanfiy vektor uchun (2) tenglamalar sistemasi yagona manfiymas yechimga ega bo`ladi. Boshqacha aytganda, har bir yakuniy mahsulot nomanfiy vektoriga, yagona manfiymas ishlab chiqarish hajmi vektori mos keladi.
matritsa samarali bo`lsa, nomanfiy matritsa mavjud bo`lib, asosiy masala yechimi
(3)
formula bo`yicha topiladi.
Misol.
Quyidagi

jadvaldan foydalanib, agar energetika tarmog’ni ikki marta oshirib mashinasozlikni o’zgartirmasak, har bir tarmoqdagi zaruriy yalpi ishlab chiqarish hajmini toping.
Yechish. Bu yerda
U holda

Yani
.
Bundan foydalanib

matritsani topamiz.
Shart bo’yicha . formuladan foydalansak
.
Demak, energetika tarmog’dagi yalpi ishlab chiqarishni 179,0 sh. b. gacha, mashinasozlida esa 160,5 sh. b. gacha orttirish kerak.