Chiziqlarning parametrik tenglamasi Reja

Chiziqlarning parametrik tenglamasi
Reja:

1. Silindrik va sferik koordinatalar sistemasi.

2. Chiziqlarning parametrik tenglamasi.
3. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi


Klassifikatsiya qilish va kanonik ko‘rinishga keltirish. Silindrik va sferik koordinatalar sistemasi. Sferik koordinatalar sistemasi Bizga yaxshi ma’lumki, ikki karrali integrallarni yaqinlashishga tekshirishda ko‘pincha qutb koordinatalar sistemasiga o‘tish muhim rol o‘ynaydi. Zamonaviy matematikada ko‘pincha uch karrali integrallarni yaqinlashuvchanlikka tekshirish bilan bog‘liq masalalar uchrab turadi. Xususan, Fridrixs modeli yoki umumlashgan Fridrixs modelining odatdagi va bo‘sag‘aviy xos qiymatlarini hamda virtual sathlarini tahlil qilishda uch karrali integrallarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. Buni esa ko‘pincha sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish orqali amalga oshirish mumkin. Shu nuqtai nazardan bunday koordinatalar sistemasi haqidagi ma’lumotlar muhim sanaladi. Sferik koordinatalar sistemasi-uch o‘lchamli koordinatalar sistemasi bo‘lib, fazodagi har qanday nuqta uchta koordinata (r,,) orqali aniqlanadi, bunda r - nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa (radial masofa),  va  lar esa mos ravishda zenit va azimut burchaklar. Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qo‘llaniladi. Zenit-bu fundamental tekislikga tegishli bo‘lgan tanlangan nuqtadan (kuzatuv nuqtasidan) vertikal ko‘tarilish yo‘nalishidir. Astronomiyada fundamental tekislik sifatida ekvator yoki gorizont yotuvchi tekislikni tanlash mumkin. Azimut-bu markazi kuzatuv nuqtasida bo‘lgan fundamental tekislikdagi istalgan tanlangan nur va avvalgisi bilan umumiy boshlang‘ich nuqtaga ega boshqa nur orasidagi burchakdir. Agar sferik koordinatalar sistemasi Охуz dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralsa, u holda ху tekisligi fundamental tekislik bo‘ladi, berilgan Р radiusvektorning zenit burchagi Р va z o‘q orasidagi burchakka teng bo‘ladi. Р ning ху tekislikdagi proyeksiyasi va х o‘qi orasidagi burchak esa azimut bo‘ladi. Shu orqali burchaklarning nomlanishini asoslash mumkin va sferik koordinatalar sistemasini fazoviy koordinatalar sistemasi turini umumlashtirish sifatida qarash mumkin. Р nuqtaning joylashuvi sferik koordinatalar sistemasida (r,,) uchlik orqali aniqlanadi, bu yerda 1) berilgan Р nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir, ya’ni r  0 ; 2) Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va z o‘qi orasidagi  burchak uchun 0  180 munosabat o‘rinli; 3) Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning ху tekislikga proyeksiyasi va х o‘qi orasidagi  burchak uchun 0   360 munosabat o‘rinli.  burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi.  ga esa azimut burchagi deyiladi.  va  burchaklar r = 0 bo‘lganda aniqlanmagan. Bundan tashqari sin = 0 ya’ni  = 0 yoki  =180 bo‘lganda  burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 standartda qayd qilingan. Bundan tashqari,  zenit burchak o‘rniga Р radius vektor va ху tekislik orasidagi 90 − ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga kenglik deyiladi va у ham  harfi bilan belgilanadi. Kenglik − 90   90 oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda  va  burchaklar r = 0 bo‘lganda ma’noga ega emas; cos = 0 , ya’ni  = −90 yoki  = 90 bo‘lganda  ma’noga ega emas. Fridrixs modeli yoki umumlashgan Fridixs modelining odatdagi va bo'sag'aviy xos qiymatlarini hamda virtual sathlarini tahlil qilishda uch karrali integrallarni tekshirishga to'g'ri keladi. Buni esa ko'pincha nsferik koordinatalar sistemasiga o'tish orqali amalga oshirish mumkin. Bizga yaxshi ma'lumki, bilan bog'liq masalalar uchrab turadi muhim rol o'ynaydi. Chiziqlarning parametrik tenglamasi. Birinchidan, biz kosmosdagi to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasini olamiz. Yuqorida, vektor tengligi yozilganda, unda mavjud bo'lgan parametr haqida allaqachon aytib o'tilgan edi. Parametrik tenglamani olish uchun vektorni kengaytirish kifoya. Biz olamiz: x \u003d x 0 + a × a; y \u003d y 0 + a × b; z \u003d z 0 + a × c Har biri bittadan o'zgaruvchan koordinatali va a parametrga ega bo'lgan ushbu uchta chiziqli tenglikning kombinatsiyasi odatda kosmosdagi to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasi deb ataladi. Darhaqiqat, biz hech qanday yangi ish qilmadik, balki shunchaki mos keladigan vektorli ifodaning ma'nosini aniq yozib oldik. Biz faqat bitta fikrni ta'kidlaymiz: a soni, o'zboshimchalik bilan bo'lsa ham, uchta tenglik uchun bir xil. Masalan, agar 1-tenglik uchun a \u003d -1,5 bo'lsa, u holda uning koordinatalarini nuqtaning koordinatalarini aniqlashda ikkinchi va uchinchi tengliklarga almashtirish kerak. Tekislikdagi tekis chiziqning parametrik tenglamasi fazoviy holatga o'xshaydi. Bu shunday yozilgan: x \u003d x 0 + a × a; y \u003d y 0 + a × b Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun u uchun vektor tenglamasi aniq yozilishi kerak. To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑙𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑚𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑝𝑡 b bu yerda 𝑡 – parameter Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi: klassifikatsiya qilish va kanonik ko‘rinishga keltirish. Quyidagi xossalarga ega ikkita 𝑂𝑥𝑦 va 𝑂𝑥1𝑦1 koordinatalar sistemasi berilgan: 𝑂𝑥 va 𝑂𝑥1 o’qlar hamda 𝑂𝑦 va 𝑂𝑦1 o’qlar parallel va bir xil yo’nalgan, 𝑂𝑥1𝑦1 koordinatalar sistemasi boshi 𝑂1 esa 𝑂𝑥𝑦 koordinatalar sistemasiga nisbatan ma’lum koordinatalarga ega 𝑂1 = 𝑂1 𝑎, . Oxy koordinatalar sistemasida x,y o‘zgaruvchilarning ikkinchi darajali tenglamasi bilan aniqlanuvchi chiziq tekislikdagi ikkinchi iartibli chiziq deyiladi. Har qanday ikkinchi tartibli chiziqni doiraviy konusning tekislik bilan kesishish chizig'i sifatida hosil qilish mumkin. Shu sababli ikkinchi tartibli chiziqlar konus kesimlar deb ham ataladi. Berilgan / to'g'ri chiziqni uni A nuqtaga kesuvchi boshqa bir fiksirlangan L to'g'ri chiziq atrofida o'zgarmas burchak ostida aylantirish natijasida hosil qilingan sirt doiraviy konus deyiladi. Bunda / to'g'ri chiziqqa konusning yasovchisi, L to'g'ri chiziqqa konusning o ‘qi, A. nuqtaga konusning uchi, konusning A nuqta bilan ajratilgan qismlariga konusningpallalari deyiladi. Agar konus tekislik bilan kesilganida - tekislik konusning A uchidan o'tmasa va konus o'qiga perpendikular bo'Isa, kesimda aylana hosil bo'ladi; - tekislik konus o'qiga perpendikular bo'lmay, konusning faqat bitta pallasini kessa va uning yasovchilaridan birortasiga parallel bo'lmasa, kesimda ellips hosil bo'ladi; - tekislik konus yasovchilaridan biriga parallel ravishda uning pallalaridan birini kessa. kesimda parabola hosil boladi; - - tekislik konusning ikkala pallasini kessa, kesimda giperbola hosil boiadi; - tekislik konusning A uchidan o'tsa, kesimda nuqta, to'g'ri chiziq. to ‘g ‘ri chiziqlar jufti hosil bo’ladi. Ikkinchi tartibli chiziqlar fan va texnikaning ko‘p sohalarida keng qoilaniladi. Bunga misollar keltiramiz.
Chiziqning parametrik tenglamalari ushbu chiziqning shakli bo'lgan kanonik tenglamadan olingan elementar hisoblanadi. Parametr uchun kanonik tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytiradigan qiymatni olamiz.
Tanlovchilardan biri majburiy ravishda nolga teng bo'lmaganligi sababli va tegishli hisoblagich har qanday qiymatni olishi mumkin bo'lganligi sababli parametrning o'zgarishi maydoni haqiqiy sonlarning butun o'qi:.
Biz olamiz yoki yakuniy
Tenglamalar (1) - bu chiziqning kerakli parametrik tenglamalari. Ushbu tenglamalar mexanik izohlashga imkon beradi. Agar parametr ma'lum bir boshlang'ich momentdan hisoblangan vaqt deb faraz qilsak, u holda parametrik tenglamalar materiya nuqtasining to'g'ri chiziqda doimiy tezlikda harakatlanish qonunini aniqlaydi (bunday harakat inertsiya bilan sodir bo'ladi).
1-misol Nuqtadan o'tgan va yo'naltiruvchi vektorga ega bo'lgan chiziq tekisligida parametrik tenglamalarni tuzing.
Qaror. Nuqta va yo'nalish vektori ma'lumotlarini (1) ga almashtiramiz va quyidagini olamiz:
Ko'pincha muammolarda chiziqning parametrik tenglamalarini boshqa tenglamalarga, boshqa turdagi tenglamalardan esa chiziqning parametrik tenglamalarini olish talab qilinadi. Keling, ba'zi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga aylantirish uchun avval ularni kanonik shaklga keltirish kerak, keyin kanonik tenglamadan umumiy to'g'ri chiziq tenglamasini olish kerak
2-misol Chiziq tenglamasini yozing
umumiy ma'noda.
Qaror. Birinchidan, chiziqning parametrik tenglamalarini kanonik tenglamaga keltiramiz:
Keyingi o'zgarishlarda biz tenglamani umumiy shaklga qisqartiramiz:

Umumiy tenglamani to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga aylantirish biroz murakkabroq, ammo bu harakat uchun ham aniq algoritm tuzish mumkin. Birinchidan, siz umumiy tenglamani burchak koeffitsienti bilan tenglamaga aylantirasiz va undan chiziqqa tegishli bo'lgan nuqta koordinatalarini topib, koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berasiz. Nuqta va yo'nalish vektorining koordinatalari ma'lum bo'lganda (umumiy tenglamadan) chiziqning parametrik tenglamalari yozilishi mumkin.
3-misol Parametrik tenglamalar shaklida chiziq tenglamasini yozing.
Qaror. Burchak koeffitsienti bilan tenglamadagi chiziqning umumiy tenglamasini beramiz:
Chiziqqa tegishli bo'lgan biron bir nuqtaning koordinatalarini toping. Biz nuqtaning koordinatalaridan biriga ixtiyoriy qiymat beramiz
Burchak koeffitsienti bilan chiziq tenglamasidan nuqtaning boshqa koordinatasini olamiz:
Shunday qilib, biz nuqta va yo'nalish vektorini bilamiz. Biz ularning ma'lumotlarini (1) ga almashtiramiz va kerakli parametrning tenglamalarini olamiz:
4-misol Parametrik tenglamalar bilan berilgan to'g'ri chiziqning qiyalikini toping
Qaror. Chiziqning parametrik tenglamalari avval kanonik, so'ngra umumiy va oxirida burchak koeffitsienti bo'lgan tenglamaga aylantirilishi kerak.
Shunday qilib, berilgan chiziqning burchak koeffitsienti:
5-misol Nuqtadan va chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqning parametrik tenglamalarini tuzing
Har bir kasrni ma'lum bir parametrga ega bo'lgan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarida tenglashtirish t:
Parametr orqali chiziqning har bir nuqtasining joriy koordinatalarini ifodalovchi tenglamalarni olamiz t.

shunday qilib, chiziqning parametrik tenglamalari quyidagicha bo'ladi: