Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar

Isbot. 5.1.3 teoremadan V uchun yasovchi va 5.1.5 na tijadan V da chiziqli erkli qism to’plam bo’lsin. Bundan V fazoda bazis tashkil etadi. Demak,



5.1.10. Teorema. (1– izomorfizm teoremasi) Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirish bo’lsin. Hamda bo’ladi.

Isbot. Xaqiqatdan,\\\\\\\va 5.1.7 teoremadan ko’rinishdagi xulosaga kelamiz. Natija: 5.1.3 teoremadan, V ga qism fazo bo’ladi.

5.1.11. Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar va chiziqli akslantirish bo’lsin. Agar finit bo’lsa, u holda bo’ladi.

Isbot. 5.1.1. teoremadan, , 5.1.9 natijadan ni ko’ramiz va 4.4.4 teoremadan . Shunday qilib, ga teng bo’ladi.

5.1.12. Teorema. A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin. Faraz qilaylik finit va A da bazis tashkil qilsin. Agar lar V fazoda ixtiyoriy element bo’lsa, bitta va faqat bitta akslantirish mavjud. Shuning uchun bo’ladi.

Isbot. Aytaylik, x A ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremadan, .

akslantirish orqali ta’riflanadi. Agar va bo’lsa .

4.2.16 teoremadan bu akslantirish yagona va

Shuningdek, bo’lsa,

bo’ladi.

Sunday qilib quyidagi ifoda kelib chiqadi:

.

Ko’rinib turibdiki f akslantirish chiziqli. Shuningdek xossaga ko’ra akslantirish chiziqli akslantirish. uchun va

ifodaga ega bo’lamiz.

Shunday qilib ifoda hosil bo’ladi.

5.1.13 Teorema. A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin. A va V lar izomorfik, o’lchami faqat va faqat gat eng.

Isbot. Agar A va V izomorfik bo’lsa, u holda 5.1.9 natijaga ko’ra ga teng bo’ladi. Teskaridan faraz qilsak bo’lsin. Aytaylik A da va V da bazis tashkil qilsin. Agar x A ning ixtiyoriy elementi bo’lsa, 4.2.16 teoremaga ko’ra , 5.1.12 teorema shuni ko’rsatadiki akslantirish orqali ta’riflanganda chiziqli bo’ladi.

u Vning ixtiyoriy elementi bo’lsin va bo’ladi. uchun ga teng bo’ladi.

Bu esa fni epimorfizm ekanini ko’rsatadi.

5.1.14 Natija. Aytaylik A F finit o’lchamli fazodan olingan bo’lsin. U holda uchun bo’ladi.

//////////////////////////////////////////////

va bo’lsin. akslantirish orqali ta’riflanadi, . Agar bo’lsa, u holda

bo’ladi, bundan ushbu natija hosil bo’ladi

Shuningdek,

va kelib chiqadi.

Hamda, hosil bo’lib, bundan kelib chiqadi.

Natijada quyidagi ifoda xosil bo’ladi:

va

5.1.15 Ta’rif. A F vektor fazosida berilgan bo’lsin. akslantirish A da chiziqli akslantirish yoki chiziqli operator deb ataladi. Biz shuningdek f ni A da endomorfizm deb ataymiz.

kabi yozamiz va F da vektor fazo. ///////////////

va bo’lsin. Quyidagiga egamiz:



Bundan, kelib chiqadi.

O’xshashlikdan biz ni isbotlay olamiz. 1.3.2 teoremadan ko’paytma akslantirishlar assotsiativdir, A chiziqli almashtirish –multiplikativ ayniyatdir. Bundan, , ifodani ko’rishimiz mumkin.

5.1.16. Ta’rif. A F vektor fazodan olingan bo’lsin. chiziqli akslantirish A da chiziqli funksional deb ataladi. vektor fazo Ada qo’shma fazo ( yoki сопряженное) deb ataladi.

5.1.17. Teorema. A F dan olingan finit–o’lchamli vektor fazo va bo’lsin. va bundan va lar izomorfikdir.

Isbot. da bazis tashkil qilsin. x ning ixtiyoriy elementi va 4.2.16 teoremaga asosan, , . Biz akslantirishni orqali topamiz. 5.1.12 teoremadan ni chiziqli funksional ekanini ko’rishimiz mumkin.

lar chiziqli erkli, lar ning elementi bundan kelib chiqadi. So’ng



va 4.2.7 teoremadan larni chiziqli erkli ekanini ko’rishimiz mumkin.

ixtiyoriy chiziqli erkli funksional bo’lsin. So’ng

,

bundan quyidagiga teng: . Bu yerdan har bir chiziqli funksional da chiziqli kombinatsiya tashkil etadi, qism to’plam da bazis tashkil qilishini ko’ramiz. Nihoyat, va 5.1.13 teoremadan va lar izomorfikdir.

//////////////////

Biz akslantirishni topamiz. uchun ni , orqali topamiz. Agar, va bo’lsa, u holda quyidagi natijaga ega bo’lamiz:

va

,

bu esa ni chiziqli ekanini ko’rsatadi. Bundan . ni o’rniga ni qo’yamiz, . Agar har bir uchun bo’lsa, quyidagiga ega bo’lamiz:

,

Natija ni ko’rsatadi. Agar ni ixtiyoriy elementi bo’lsa,



hosil bo’ladi, bu esa ni ko’rsatadi. Yuqoridagilardan quyidagiga ega bo’lamiz:

va

.

Ushbu tenglamalar akslantirishni chiziqli ekanini ko’rsatadi.

da bazis tashkil qilsin, ning bazisi ga qo’shma bo’lsin va ning bazisi ga qo’shma . Bizda uchun tenglik mavjud. ixtiyoriy funksional bo’lsa, yuqoridagi isbotga kelsak, . Shunday ekan



Ta’rifga asosan, , shuningdek, uchun o’rinli. Shuningdek, va buning natijasida uchun kelib chiqadi. 5.1.13 teoremani isbotidan ni izomorfizm degan xulosaga kelamiz.