Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar

5.1.4 Teorema. (monomorfizm teoremasi) . Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. va f monomorfizm. Shuningdek, f monomorfizm bo’lsa, bo’ladi.

Isbot. Haqiqatdan ham, agar f monomorfizm bo’lsa, dan ekanligi kelib chiqadi. x A da nol bo’lmagan element, demak, .

Aytaylik, va bo’lsin, bundan ekanligi ma’lum bo’ladi va , . Bundan kelib chiqadiki . Bu isbotdan f inyektiv va monomorfizmdir. Nihoyat, f monomorfizm bo’lsa, bo’ladi.

5.1.5.Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va monomorfizm bo’lsin. Agar M A da chiziqli erkli qism to’plam bo’lsa, V da chiziqli erkli qism to’lam tashkil etadi.

Isbot. Aytaylik, ga finit qism to’plam bo’lsin. R M dagi qism to’plam uchun bo’ladi. ni chiziqli erkli ekanini ko’ramiz, va ekanligidan kelib chiqadi. 5.1.3. teoremaga ko’ra

,

5.1.4 teoremaga ko’ra bo’ladi, bundan kelib chiqadi. 4.2.7 teoremaga ko’ra R chiziqli erkli qism to’plam va shuning uchun bo’ladi. 4.2.7 teoremadan foydalanib S ni chiziqli erkli ekanligini va ni ham chiziqli erkli ekanini ko’ramiz.

5.1.6. Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va monomorfizm bo’lsin. U holda A, V ni finit o’lchamlaridan kelib chiqadi.

Isbot. Aytaylik X A da finit bazis tashlikil etsin. 5.1.5 natijaga ko’ra V da chiziqli erkli qism to’plam tashkil etadi. 5.1.3 teoremaga asosan, uchun yasovchi, demak, uchun bazis tashkil etadi. 4.2.20 teoremadan, va f inyektiv,

5.1.7 Teorema. (Epimorfizm teoremasi) Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va epimorfizm bo’lsin. U holda V fazo faktor fazoga izomorf bo’ladi.

Isbot. qilinmadi.\\

5.1.8 Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va epimorfizm bo’lsin. Agar A finit o’lchamga ega bo’lsa, u holda V finit o’lchamli va bo’ladi.

Isbot. X A da bazis tashkil qilsin. 5.1.3. teoremadan V uchun yasovchi. 4.2.13 xulosadan V fazo bazisni o’z ichiga oladi, bundan . Bulardan ekanligi kelib chiqadi, natija isbotlandi.

5.1.9. Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va izomorfizm bo’lsin. Agar A finit o’lchamga ega va X A da bazis bo’lsin. Hamda V da bazis tashkil etsin va bo’lsin.